Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61250 / 33728
↖ ↑ ↗
← N 65.440002°
W 11.771850°		 ← 126.95 m → N 65.440002°
W 11.769104°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
N 65.438860°
W 11.771850°		 ← 126.95 m →
16 111 m²		 N 65.438860°
W 11.769104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467304229736328 y=0.257328033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467304229736328 × 217)
    floor (0.467304229736328 × 131072)
    floor (61250.5)     		tx = 61250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257328033447266 × 217)
    floor (0.257328033447266 × 131072)
    floor (33728.5)     		ty = 33728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61250 / 33728 ti = "17/61250/33728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61250/33728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61250 ÷ 217
    61250 ÷ 131072     		x = 0.467300415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33728 ÷ 217
    33728 ÷ 131072     		y = 0.25732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467300415039062 × 2 - 1) × π
    -0.065399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20545755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25732421875 × 2 - 1) × π
    0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20545755} λ = -0.20545755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52477690311475))-π/2
    2×atan(4.59411852143583)-π/2
    2×1.35646990912416-π/2
    2.71293981824832-1.57079632675     		φ = 1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20545755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.771850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61250 KachelY 33728 -0.20545755 1.14214349 -11.771850 65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 61251 KachelY 33728 -0.20540961 1.14214349 -11.769104 65.440002
    Unten links KachelX 61250 KachelY + 1 33729 -0.20545755 1.14212357 -11.771850 65.438860
    Unten rechts KachelX + 1 61251 KachelY + 1 33729 -0.20540961 1.14212357 -11.769104 65.438860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14214349-1.14212357) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14214349-1.14212357) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20545755--0.20540961) × cos(1.14214349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 126.948956374186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20545755--0.20540961) × cos(1.14212357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415664016994043 × 6371000     		du = 126.954489981768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14214349)-sin(1.14212357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.415664016994043)×R²
    abs(-0.20540961--0.20545755)×1.81176857657617e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81176857657617e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81176857657617e-05×40589641000000     		ar = 16111.4838136243m²