Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61249 / 41279
↖ ↑ ↗
← N 55.280680°
W 11.774597°		 ← 173.96 m → N 55.280680°
W 11.771850°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
N 55.279115°
W 11.774597°		 ← 173.96 m →
30 257 m²		 N 55.279115°
W 11.771850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467296600341797 y=0.314937591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467296600341797 × 217)
    floor (0.467296600341797 × 131072)
    floor (61249.5)     		tx = 61249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314937591552734 × 217)
    floor (0.314937591552734 × 131072)
    floor (41279.5)     		ty = 41279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61249 / 41279 ti = "17/61249/41279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61249/41279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61249 ÷ 217
    61249 ÷ 131072     		x = 0.467292785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41279 ÷ 217
    41279 ÷ 131072     		y = 0.314933776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467292785644531 × 2 - 1) × π
    -0.0654144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20550549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314933776855469 × 2 - 1) × π
    0.370132446289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.1628053740837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20550549} λ = -0.20550549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1628053740837))-π/2
    2×atan(3.19889479658903)-π/2
    2×1.26781309976622-π/2
    2.53562619953244-1.57079632675     		φ = 0.96482987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20550549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.774597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96482987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.280680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61249 KachelY 41279 -0.20550549 0.96482987 -11.774597 55.280680
    Oben rechts KachelX + 1 61250 KachelY 41279 -0.20545755 0.96482987 -11.771850 55.280680
    Unten links KachelX 61249 KachelY + 1 41280 -0.20550549 0.96480257 -11.774597 55.279115
    Unten rechts KachelX + 1 61250 KachelY + 1 41280 -0.20545755 0.96480257 -11.771850 55.279115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96482987-0.96480257) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dl = 173.928299999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96482987-0.96480257) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dr = 173.928299999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20550549--0.20545755) × cos(0.96482987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569556723253342 × 6371000     		do = 173.957283671715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20550549--0.20545755) × cos(0.96480257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569579162331506 × 6371000     		du = 173.964137143768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96482987)-sin(0.96480257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569556723253342-0.569579162331506)×R²
    abs(-0.20545755--0.20550549)×2.24390781633499e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24390781633499e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24390781633499e-05×40589641000000     		ar = 30256.6906297933m²