Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61240 / 41010
↖ ↑ ↗
← N 55.699260°
W 11.799316°		 ← 172.12 m → N 55.699260°
W 11.796570°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.697712°
W 11.799316°		 ← 172.13 m →
29 619 m²		 N 55.697712°
W 11.796570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467227935791016 y=0.312885284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467227935791016 × 217)
    floor (0.467227935791016 × 131072)
    floor (61240.5)     		tx = 61240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312885284423828 × 217)
    floor (0.312885284423828 × 131072)
    floor (41010.5)     		ty = 41010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61240 / 41010 ti = "17/61240/41010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61240/41010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61240 ÷ 217
    61240 ÷ 131072     		x = 0.46722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41010 ÷ 217
    41010 ÷ 131072     		y = 0.312881469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312881469726562 × 2 - 1) × π
    0.374237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1757004000815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20593692} λ = -0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1757004000815))-π/2
    2×atan(3.24041173385733)-π/2
    2×1.27146589900068-π/2
    2.54293179800135-1.57079632675     		φ = 0.97213547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97213547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.699260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61240 KachelY 41010 -0.20593692 0.97213547 -11.799316 55.699260
    Oben rechts KachelX + 1 61241 KachelY 41010 -0.20588898 0.97213547 -11.796570 55.699260
    Unten links KachelX 61240 KachelY + 1 41011 -0.20593692 0.97210846 -11.799316 55.697712
    Unten rechts KachelX + 1 61241 KachelY + 1 41011 -0.20588898 0.97210846 -11.796570 55.697712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97213547-0.97210846) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97213547-0.97210846) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.97213547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		do = 172.118621206571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.97210846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563559037369528 × 6371000     		du = 172.125436022262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97213547)-sin(0.97210846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563536724856863-0.563559037369528)×R²
    abs(-0.20588898--0.20593692)×2.23125126641577e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23125126641577e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23125126641577e-05×40589641000000     		ar = 29618.8808924592m²