Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61240 / 40701
↖ ↑ ↗
← N 56.174610°
W 11.799316°		 ← 170.02 m → N 56.174610°
W 11.796570°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
N 56.173081°
W 11.799316°		 ← 170.03 m →
28 900 m²		 N 56.173081°
W 11.796570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467227935791016 y=0.310527801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467227935791016 × 217)
    floor (0.467227935791016 × 131072)
    floor (61240.5)     		tx = 61240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310527801513672 × 217)
    floor (0.310527801513672 × 131072)
    floor (40701.5)     		ty = 40701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61240 / 40701 ti = "17/61240/40701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61240/40701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61240 ÷ 217
    61240 ÷ 131072     		x = 0.46722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40701 ÷ 217
    40701 ÷ 131072     		y = 0.310523986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310523986816406 × 2 - 1) × π
    0.378952026367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.19051290206409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20593692} λ = -0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19051290206409))-π/2
    2×atan(3.28876759055697)-π/2
    2×1.27561411387077-π/2
    2.55122822774154-1.57079632675     		φ = 0.98043190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98043190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.174610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61240 KachelY 40701 -0.20593692 0.98043190 -11.799316 56.174610
    Oben rechts KachelX + 1 61241 KachelY 40701 -0.20588898 0.98043190 -11.796570 56.174610
    Unten links KachelX 61240 KachelY + 1 40702 -0.20593692 0.98040522 -11.799316 56.173081
    Unten rechts KachelX + 1 61241 KachelY + 1 40702 -0.20588898 0.98040522 -11.796570 56.173081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98043190-0.98040522) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dl = 169.978280000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98043190-0.98040522) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dr = 169.978280000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.98043190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556663803010227 × 6371000     		do = 170.0194539656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.98040522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556685966898501 × 6371000     		du = 170.026223387577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98043190)-sin(0.98040522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556663803010227-0.556685966898501)×R²
    abs(-0.20588898--0.20593692)×2.21638882744735e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21638882744735e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21638882744735e-05×40589641000000     		ar = 28900.1896808454m²