Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61240 / 40696
↖ ↑ ↗
← N 56.182254°
W 11.799316°		 ← 169.99 m → N 56.182254°
W 11.796570°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
N 56.180725°
W 11.799316°		 ← 169.99 m →
28 894 m²		 N 56.180725°
W 11.796570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467227935791016 y=0.310489654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467227935791016 × 217)
    floor (0.467227935791016 × 131072)
    floor (61240.5)     		tx = 61240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310489654541016 × 217)
    floor (0.310489654541016 × 131072)
    floor (40696.5)     		ty = 40696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61240 / 40696 ti = "17/61240/40696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61240/40696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61240 ÷ 217
    61240 ÷ 131072     		x = 0.46722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40696 ÷ 217
    40696 ÷ 131072     		y = 0.31048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31048583984375 × 2 - 1) × π
    0.3790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19075258656219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20593692} λ = -0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19075258656219))-π/2
    2×atan(3.28955595164147)-π/2
    2×1.27568081907137-π/2
    2.55136163814274-1.57079632675     		φ = 0.98056531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98056531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.182254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61240 KachelY 40696 -0.20593692 0.98056531 -11.799316 56.182254
    Oben rechts KachelX + 1 61241 KachelY 40696 -0.20588898 0.98056531 -11.796570 56.182254
    Unten links KachelX 61240 KachelY + 1 40697 -0.20593692 0.98053863 -11.799316 56.180725
    Unten rechts KachelX + 1 61241 KachelY + 1 40697 -0.20588898 0.98053863 -11.796570 56.180725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98056531-0.98053863) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dl = 169.978280000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98056531-0.98053863) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dr = 169.978280000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.98056531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556552969317363 × 6371000     		do = 169.98560250294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.98053863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556575135186857 × 6371000     		du = 169.992372530033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98056531)-sin(0.98053863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556552969317363-0.556575135186857)×R²
    abs(-0.20588898--0.20593692)×2.21658694939952e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21658694939952e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21658694939952e-05×40589641000000     		ar = 28894.4357186117m²