Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61238 / 41288
↖ ↑ ↗
← N 55.266598°
W 11.804809°		 ← 173.98 m → N 55.266598°
W 11.802063°		 →
↑
173.99 m
↓
↑
173.99 m
↓
N 55.265033°
W 11.804809°		 ← 173.99 m →
30 272 m²		 N 55.265033°
W 11.802063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467212677001953 y=0.315006256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467212677001953 × 217)
    floor (0.467212677001953 × 131072)
    floor (61238.5)     		tx = 61238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315006256103516 × 217)
    floor (0.315006256103516 × 131072)
    floor (41288.5)     		ty = 41288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61238 / 41288 ti = "17/61238/41288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61238/41288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61238 ÷ 217
    61238 ÷ 131072     		x = 0.467208862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41288 ÷ 217
    41288 ÷ 131072     		y = 0.31500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467208862304688 × 2 - 1) × π
    -0.065582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20603279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31500244140625 × 2 - 1) × π
    0.3699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16237394198712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20603279} λ = -0.20603279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16237394198712))-π/2
    2×atan(3.19751498836837)-π/2
    2×1.26769021545521-π/2
    2.53538043091043-1.57079632675     		φ = 0.96458410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20603279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.804809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96458410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.266598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61238 KachelY 41288 -0.20603279 0.96458410 -11.804809 55.266598
    Oben rechts KachelX + 1 61239 KachelY 41288 -0.20598486 0.96458410 -11.802063 55.266598
    Unten links KachelX 61238 KachelY + 1 41289 -0.20603279 0.96455679 -11.804809 55.265033
    Unten rechts KachelX + 1 61239 KachelY + 1 41289 -0.20598486 0.96455679 -11.802063 55.265033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96458410-0.96455679) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dl = 173.992010000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96458410-0.96455679) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dr = 173.992010000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20603279--0.20598486) × cos(0.96458410) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569758717200191 × 6371000     		do = 173.982678494452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20603279--0.20598486) × cos(0.96455679) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569781160674114 × 6371000     		du = 173.989531879209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96458410)-sin(0.96455679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569758717200191-0.569781160674114)×R²
    abs(-0.20598486--0.20603279)×2.24434739223289e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24434739223289e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24434739223289e-05×40589641000000     		ar = 30272.1921553738m²