Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61236 / 41007
↖ ↑ ↗
← N 55.703903°
W 11.810303°		 ← 172.10 m → N 55.703903°
W 11.807556°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.702355°
W 11.810303°		 ← 172.10 m →
29 615 m²		 N 55.702355°
W 11.807556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467197418212891 y=0.312862396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467197418212891 × 217)
    floor (0.467197418212891 × 131072)
    floor (61236.5)     		tx = 61236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312862396240234 × 217)
    floor (0.312862396240234 × 131072)
    floor (41007.5)     		ty = 41007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61236 / 41007 ti = "17/61236/41007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61236/41007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61236 ÷ 217
    61236 ÷ 131072     		x = 0.467193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41007 ÷ 217
    41007 ÷ 131072     		y = 0.312858581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.06561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20612867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312858581542969 × 2 - 1) × π
    0.374282836914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.17584421078036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20612867} λ = -0.20612867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17584421078036))-π/2
    2×atan(3.2408777732433)-π/2
    2×1.27150641789879-π/2
    2.54301283579758-1.57079632675     		φ = 0.97221651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20612867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.810303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97221651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.703903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61236 KachelY 41007 -0.20612867 0.97221651 -11.810303 55.703903
    Oben rechts KachelX + 1 61237 KachelY 41007 -0.20608073 0.97221651 -11.807556 55.703903
    Unten links KachelX 61236 KachelY + 1 41008 -0.20612867 0.97218950 -11.810303 55.702355
    Unten rechts KachelX + 1 61237 KachelY + 1 41008 -0.20608073 0.97218950 -11.807556 55.702355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97221651-0.97218950) × R
    2.70099999999385e-05 × 6371000     		dl = 172.080709999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97221651-0.97218950) × R
    2.70099999999385e-05 × 6371000     		dr = 172.080709999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20612867--0.20608073) × cos(0.97221651) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563469776590834 × 6371000     		do = 172.098173482977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20612867--0.20608073) × cos(0.97218950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563492090336969 × 6371000     		du = 172.104988675402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97221651)-sin(0.97218950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563469776590834-0.563492090336969)×R²
    abs(-0.20608073--0.20612867)×2.23137461352607e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23137461352607e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23137461352607e-05×40589641000000     		ar = 29615.3622658987m²