Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61234 / 41009
↖ ↑ ↗
← N 55.700807°
W 11.815796°		 ← 172.08 m → N 55.700807°
W 11.813050°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.699260°
W 11.815796°		 ← 172.08 m →
29 612 m²		 N 55.699260°
W 11.813050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467182159423828 y=0.312877655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467182159423828 × 217)
    floor (0.467182159423828 × 131072)
    floor (61234.5)     		tx = 61234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312877655029297 × 217)
    floor (0.312877655029297 × 131072)
    floor (41009.5)     		ty = 41009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61234 / 41009 ti = "17/61234/41009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61234/41009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61234 ÷ 217
    61234 ÷ 131072     		x = 0.467178344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41009 ÷ 217
    41009 ÷ 131072     		y = 0.312873840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467178344726562 × 2 - 1) × π
    -0.065643310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20622454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312873840332031 × 2 - 1) × π
    0.374252319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17574833698112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20622454} λ = -0.20622454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17574833698112))-π/2
    2×atan(3.24056707287255)-π/2
    2×1.27147940583492-π/2
    2.54295881166983-1.57079632675     		φ = 0.97216248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20622454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.815796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97216248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.700807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61234 KachelY 41009 -0.20622454 0.97216248 -11.815796 55.700807
    Oben rechts KachelX + 1 61235 KachelY 41009 -0.20617661 0.97216248 -11.813050 55.700807
    Unten links KachelX 61234 KachelY + 1 41010 -0.20622454 0.97213547 -11.815796 55.699260
    Unten rechts KachelX + 1 61235 KachelY + 1 41010 -0.20617661 0.97213547 -11.813050 55.699260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97216248-0.97213547) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97216248-0.97213547) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20622454--0.20617661) × cos(0.97216248) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563514411933077 × 6371000     		do = 172.075904762146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20622454--0.20617661) × cos(0.97213547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		du = 172.082718281849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97216248)-sin(0.97213547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563514411933077-0.563536724856863)×R²
    abs(-0.20617661--0.20622454)×2.23129237867381e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23129237867381e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23129237867381e-05×40589641000000     		ar = 29611.5301047417m²