Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61233 / 14031
↖ ↑ ↗
← N 71.161165°
E156.362915°		 ← 197.23 m → N 71.161165°
E156.368408°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 71.159391°
E156.362915°		 ← 197.25 m →
38 904 m²		 N 71.159391°
E156.368408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934349060058594 y=0.214103698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934349060058594 × 216)
    floor (0.934349060058594 × 65536)
    floor (61233.5)     		tx = 61233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214103698730469 × 216)
    floor (0.214103698730469 × 65536)
    floor (14031.5)     		ty = 14031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61233 / 14031 ti = "16/61233/14031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61233/14031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61233 ÷ 216
    61233 ÷ 65536     		x = 0.934341430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14031 ÷ 216
    14031 ÷ 65536     		y = 0.214096069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934341430664062 × 2 - 1) × π
    0.868682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72904770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214096069335938 × 2 - 1) × π
    0.571807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79638737636198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72904770} λ = 2.72904770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79638737636198))-π/2
    2×atan(6.02783179460999)-π/2
    2×1.40639648023348-π/2
    2.81279296046696-1.57079632675     		φ = 1.24199663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72904770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.362915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24199663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.161165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61233 KachelY 14031 2.72904770 1.24199663 156.362915 71.161165
    Oben rechts KachelX + 1 61234 KachelY 14031 2.72914357 1.24199663 156.368408 71.161165
    Unten links KachelX 61233 KachelY + 1 14032 2.72904770 1.24196567 156.362915 71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 61234 KachelY + 1 14032 2.72914357 1.24196567 156.368408 71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24199663-1.24196567) × R
    3.09600000001353e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24199663-1.24196567) × R
    3.09600000001353e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72904770-2.72914357) × cos(1.24199663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322907257581565 × 6371000     		do = 197.227803775056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72904770-2.72914357) × cos(1.24196567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 197.245700673328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24199663)-sin(1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322907257581565-0.322936558918546)×R²
    abs(2.72914357-2.72904770)×2.93013369808137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93013369808137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93013369808137e-05×40589641000000     		ar = 38904.1919899622m²