Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61232 / 41008
↖ ↑ ↗
← N 55.702355°
W 11.821289°		 ← 172.10 m → N 55.702355°
W 11.818543°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
N 55.700807°
W 11.821289°		 ← 172.11 m →
29 628 m²		 N 55.700807°
W 11.818543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467166900634766 y=0.312870025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467166900634766 × 217)
    floor (0.467166900634766 × 131072)
    floor (61232.5)     		tx = 61232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312870025634766 × 217)
    floor (0.312870025634766 × 131072)
    floor (41008.5)     		ty = 41008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61232 / 41008 ti = "17/61232/41008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61232/41008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61232 ÷ 217
    61232 ÷ 131072     		x = 0.4671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41008 ÷ 217
    41008 ÷ 131072     		y = 0.3128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20632042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3128662109375 × 2 - 1) × π
    0.374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17579627388074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20632042} λ = -0.20632042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17579627388074))-π/2
    2×atan(3.24072241933442)-π/2
    2×1.27149291213429-π/2
    2.54298582426857-1.57079632675     		φ = 0.97218950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20632042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97218950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.702355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61232 KachelY 41008 -0.20632042 0.97218950 -11.821289 55.702355
    Oben rechts KachelX + 1 61233 KachelY 41008 -0.20627248 0.97218950 -11.818543 55.702355
    Unten links KachelX 61232 KachelY + 1 41009 -0.20632042 0.97216248 -11.821289 55.700807
    Unten rechts KachelX + 1 61233 KachelY + 1 41009 -0.20627248 0.97216248 -11.818543 55.700807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97218950-0.97216248) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97218950-0.97216248) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20632042--0.20627248) × cos(0.97218950) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563492090336969 × 6371000     		do = 172.104988675302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20632042--0.20627248) × cos(0.97216248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563514411933077 × 6371000     		du = 172.111806265312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97218950)-sin(0.97216248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563492090336969-0.563514411933077)×R²
    abs(-0.20627248--0.20632042)×2.23215961075995e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23215961075995e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23215961075995e-05×40589641000000     		ar = 29627.5002615358m²