Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61232 / 34523
↖ ↑ ↗
← N 64.516552°
W 11.821289°		 ← 131.41 m → N 64.516552°
W 11.818543°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
N 64.515371°
W 11.821289°		 ← 131.42 m →
17 264 m²		 N 64.515371°
W 11.818543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467166900634766 y=0.263393402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467166900634766 × 217)
    floor (0.467166900634766 × 131072)
    floor (61232.5)     		tx = 61232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263393402099609 × 217)
    floor (0.263393402099609 × 131072)
    floor (34523.5)     		ty = 34523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61232 / 34523 ti = "17/61232/34523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61232/34523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61232 ÷ 217
    61232 ÷ 131072     		x = 0.4671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34523 ÷ 217
    34523 ÷ 131072     		y = 0.263389587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20632042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263389587402344 × 2 - 1) × π
    0.473220825195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.4866670679168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20632042} λ = -0.20632042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4866670679168))-π/2
    2×atan(4.42233159823177)-π/2
    2×1.34841129406813-π/2
    2.69682258813626-1.57079632675     		φ = 1.12602626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20632042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12602626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.516552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61232 KachelY 34523 -0.20632042 1.12602626 -11.821289 64.516552
    Oben rechts KachelX + 1 61233 KachelY 34523 -0.20627248 1.12602626 -11.818543 64.516552
    Unten links KachelX 61232 KachelY + 1 34524 -0.20632042 1.12600564 -11.821289 64.515371
    Unten rechts KachelX + 1 61233 KachelY + 1 34524 -0.20627248 1.12600564 -11.818543 64.515371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12602626-1.12600564) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dl = 131.370019999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12602626-1.12600564) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dr = 131.370019999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20632042--0.20627248) × cos(1.12602626) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430250328760484 × 6371000     		do = 131.409525046904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20632042--0.20627248) × cos(1.12600564) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43026894254134 × 6371000     		du = 131.415210174696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12602626)-sin(1.12600564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430250328760484-0.43026894254134)×R²
    abs(-0.20627248--0.20632042)×1.86137808558806e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86137808558806e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86137808558806e-05×40589641000000     		ar = 17263.6453619824m²