Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61232 / 13520
↖ ↑ ↗
← N 72.046840°
E156.357422°		 ← 188.29 m → N 72.046840°
E156.362915°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 72.045147°
E156.357422°		 ← 188.31 m →
35 449 m²		 N 72.045147°
E156.362915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934333801269531 y=0.206306457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934333801269531 × 216)
    floor (0.934333801269531 × 65536)
    floor (61232.5)     		tx = 61232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206306457519531 × 216)
    floor (0.206306457519531 × 65536)
    floor (13520.5)     		ty = 13520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61232 / 13520 ti = "16/61232/13520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61232/13520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61232 ÷ 216
    61232 ÷ 65536     		x = 0.934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13520 ÷ 216
    13520 ÷ 65536     		y = 0.206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934326171875 × 2 - 1) × π
    0.86865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72895182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206298828125 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72895182} λ = 2.72895182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84537888777368))-π/2
    2×atan(6.33049788431883)-π/2
    2×1.41412544929127-π/2
    2.82825089858254-1.57079632675     		φ = 1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72895182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61232 KachelY 13520 2.72895182 1.25745457 156.357422 72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 61233 KachelY 13520 2.72904770 1.25745457 156.362915 72.046840
    Unten links KachelX 61232 KachelY + 1 13521 2.72895182 1.25742502 156.357422 72.045147
    Unten rechts KachelX + 1 61233 KachelY + 1 13521 2.72904770 1.25742502 156.362915 72.045147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25745457-1.25742502) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25745457-1.25742502) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72895182-2.72904770) × cos(1.25745457) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 188.288490235827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72895182-2.72904770) × cos(1.25742502) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.308267505394523 × 6371000     		du = 188.305661906901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25745457)-sin(1.25742502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.308267505394523)×R²
    abs(2.72904770-2.72895182)×2.81110411231578e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.81110411231578e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.81110411231578e-05×40589641000000     		ar = 35449.3818496562m²