Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61231 / 14036
↖ ↑ ↗
← N 71.152295°
E156.351929°		 ← 197.32 m → N 71.152295°
E156.357422°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 71.150520°
E156.351929°		 ← 197.34 m →
38 947 m²		 N 71.150520°
E156.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934318542480469 y=0.214179992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934318542480469 × 216)
    floor (0.934318542480469 × 65536)
    floor (61231.5)     		tx = 61231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214179992675781 × 216)
    floor (0.214179992675781 × 65536)
    floor (14036.5)     		ty = 14036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61231 / 14036 ti = "16/61231/14036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61231/14036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61231 ÷ 216
    61231 ÷ 65536     		x = 0.934310913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14036 ÷ 216
    14036 ÷ 65536     		y = 0.21417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934310913085938 × 2 - 1) × π
    0.868621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72885595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21417236328125 × 2 - 1) × π
    0.5716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79590800736578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72885595} λ = 2.72885595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79590800736578))-π/2
    2×atan(6.02494293140439)-π/2
    2×1.40631906681116-π/2
    2.81263813362231-1.57079632675     		φ = 1.24184181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72885595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.351929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24184181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.152295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61231 KachelY 14036 2.72885595 1.24184181 156.351929 71.152295
    Oben rechts KachelX + 1 61232 KachelY 14036 2.72895182 1.24184181 156.357422 71.152295
    Unten links KachelX 61231 KachelY + 1 14037 2.72885595 1.24181083 156.351929 71.150520
    Unten rechts KachelX + 1 61232 KachelY + 1 14037 2.72895182 1.24181083 156.357422 71.150520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24184181-1.24181083) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24184181-1.24181083) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72885595-2.72895182) × cos(1.24184181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		do = 197.317297936358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72885595-2.72895182) × cos(1.24181083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323083098814587 × 6371000     		du = 197.335205449647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24184181)-sin(1.24181083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323053780098383-0.323083098814587)×R²
    abs(2.72895182-2.72885595)×2.93187162034858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93187162034858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93187162034858e-05×40589641000000     		ar = 38946.9887280659m²