Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61231 / 13519
↖ ↑ ↗
← N 72.048533°
E156.351929°		 ← 188.25 m → N 72.048533°
E156.357422°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 72.046840°
E156.351929°		 ← 188.27 m →
35 442 m²		 N 72.046840°
E156.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934318542480469 y=0.206291198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934318542480469 × 216)
    floor (0.934318542480469 × 65536)
    floor (61231.5)     		tx = 61231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206291198730469 × 216)
    floor (0.206291198730469 × 65536)
    floor (13519.5)     		ty = 13519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61231 / 13519 ti = "16/61231/13519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61231/13519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61231 ÷ 216
    61231 ÷ 65536     		x = 0.934310913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13519 ÷ 216
    13519 ÷ 65536     		y = 0.206283569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934310913085938 × 2 - 1) × π
    0.868621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72885595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206283569335938 × 2 - 1) × π
    0.587432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84547476157292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72885595} λ = 2.72885595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84547476157292))-π/2
    2×atan(6.33110484229731)-π/2
    2×1.41414022465829-π/2
    2.82828044931657-1.57079632675     		φ = 1.25748412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72885595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.351929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25748412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.048533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61231 KachelY 13519 2.72885595 1.25748412 156.351929 72.048533
    Oben rechts KachelX + 1 61232 KachelY 13519 2.72895182 1.25748412 156.357422 72.048533
    Unten links KachelX 61231 KachelY + 1 13520 2.72885595 1.25745457 156.351929 72.046840
    Unten rechts KachelX + 1 61232 KachelY + 1 13520 2.72895182 1.25745457 156.357422 72.046840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25748412-1.25745457) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25748412-1.25745457) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72885595-2.72895182) × cos(1.25748412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308211283043122 × 6371000     		do = 188.251682258743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72885595-2.72895182) × cos(1.25745457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3082393943534 × 6371000     		du = 188.26885230326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25748412)-sin(1.25745457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308211283043122-0.3082393943534)×R²
    abs(2.72895182-2.72885595)×2.81113102785779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81113102785779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81113102785779e-05×40589641000000     		ar = 35442.4521147282m²