Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6123 / 10267
↖ ↑ ↗
← S 41.426253°
W 45.461426°		 ← 1 831.94 m → S 41.426253°
W 45.439453°		 →
↑
1 831.79 m
↓
↑
1 831.79 m
↓
S 41.442727°
W 45.461426°		 ← 1 831.48 m →
3 355 307 m²		 S 41.442727°
W 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373748779296875 y=0.626678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373748779296875 × 214)
    floor (0.373748779296875 × 16384)
    floor (6123.5)     		tx = 6123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626678466796875 × 214)
    floor (0.626678466796875 × 16384)
    floor (10267.5)     		ty = 10267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6123 / 10267 ti = "14/6123/10267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6123/10267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6123 ÷ 214
    6123 ÷ 16384     		x = 0.37371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10267 ÷ 214
    10267 ÷ 16384     		y = 0.62664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.2532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.795752533692932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79345156} λ = -0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795752533692932))-π/2
    2×atan(0.451241532662946)-π/2
    2×0.423885905896556-π/2
    0.847771811793111-1.57079632675     		φ = -0.72302451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72302451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.426253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6123 KachelY 10267 -0.79345156 -0.72302451 -45.461426 -41.426253
    Oben rechts KachelX + 1 6124 KachelY 10267 -0.79306807 -0.72302451 -45.439453 -41.426253
    Unten links KachelX 6123 KachelY + 1 10268 -0.79345156 -0.72331203 -45.461426 -41.442727
    Unten rechts KachelX + 1 6124 KachelY + 1 10268 -0.79306807 -0.72331203 -45.439453 -41.442727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72302451--0.72331203) × R
    0.000287519999999986 × 6371000     		dl = 1831.78991999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72302451--0.72331203) × R
    0.000287519999999986 × 6371000     		dr = 1831.78991999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79345156--0.79306807) × cos(-0.72302451) × R
    0.000383489999999931 × 0.749807978017968 × 6371000     		do = 1831.94194155316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79345156--0.79306807) × cos(-0.72331203) × R
    0.000383489999999931 × 0.749617707839755 × 6371000     		du = 1831.47707063966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72302451)-sin(-0.72331203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749807978017968-0.749617707839755)×R²
    abs(-0.79306807--0.79345156)×0.000190270178212937×R²
    0.000383489999999931×0.000190270178212937×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190270178212937×40589641000000     		ar = 3355307.03275027m²