Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61225 / 34520
↖ ↑ ↗
← N 64.520097°
W 11.840515°		 ← 131.37 m → N 64.520097°
W 11.837769°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
N 64.518916°
W 11.840515°		 ← 131.37 m →
17 258 m²		 N 64.518916°
W 11.837769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467113494873047 y=0.263370513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467113494873047 × 217)
    floor (0.467113494873047 × 131072)
    floor (61225.5)     		tx = 61225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263370513916016 × 217)
    floor (0.263370513916016 × 131072)
    floor (34520.5)     		ty = 34520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61225 / 34520 ti = "17/61225/34520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61225/34520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61225 ÷ 217
    61225 ÷ 131072     		x = 0.467109680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34520 ÷ 217
    34520 ÷ 131072     		y = 0.26336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467109680175781 × 2 - 1) × π
    -0.0657806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20665597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26336669921875 × 2 - 1) × π
    0.4732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48681087861566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20665597} λ = -0.20665597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48681087861566))-π/2
    2×atan(4.42296762256196)-π/2
    2×1.34844222936021-π/2
    2.69688445872042-1.57079632675     		φ = 1.12608813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20665597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.840515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12608813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.520097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61225 KachelY 34520 -0.20665597 1.12608813 -11.840515 64.520097
    Oben rechts KachelX + 1 61226 KachelY 34520 -0.20660804 1.12608813 -11.837769 64.520097
    Unten links KachelX 61225 KachelY + 1 34521 -0.20665597 1.12606751 -11.840515 64.518916
    Unten rechts KachelX + 1 61226 KachelY + 1 34521 -0.20660804 1.12606751 -11.837769 64.518916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12608813-1.12606751) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dl = 131.370020000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12608813-1.12606751) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dr = 131.370020000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20665597--0.20660804) × cos(1.12608813) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430194477292971 × 6371000     		do = 131.365058880975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20665597--0.20660804) × cos(1.12606751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430213091622699 × 6371000     		du = 131.370742990488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12608813)-sin(1.12606751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430194477292971-0.430213091622699)×R²
    abs(-0.20660804--0.20665597)×1.86143297282171e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86143297282171e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86143297282171e-05×40589641000000     		ar = 17257.8037738691m²