Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61222 / 14098
↖ ↑ ↗
← N 71.041960°
E156.302490°		 ← 198.45 m → N 71.041960°
E156.307984°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 71.040175°
E156.302490°		 ← 198.47 m →
39 386 m²		 N 71.040175°
E156.307984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934181213378906 y=0.215126037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934181213378906 × 216)
    floor (0.934181213378906 × 65536)
    floor (61222.5)     		tx = 61222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215126037597656 × 216)
    floor (0.215126037597656 × 65536)
    floor (14098.5)     		ty = 14098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61222 / 14098 ti = "16/61222/14098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61222/14098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61222 ÷ 216
    61222 ÷ 65536     		x = 0.934173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14098 ÷ 216
    14098 ÷ 65536     		y = 0.215118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934173583984375 × 2 - 1) × π
    0.86834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72799308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215118408203125 × 2 - 1) × π
    0.56976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7899638318129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72799308} λ = 2.72799308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7899638318129))-π/2
    2×atan(5.98923584266313)-π/2
    2×1.40535621751154-π/2
    2.81071243502308-1.57079632675     		φ = 1.23991611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72799308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.302490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23991611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.041960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61222 KachelY 14098 2.72799308 1.23991611 156.302490 71.041960
    Oben rechts KachelX + 1 61223 KachelY 14098 2.72808896 1.23991611 156.307984 71.041960
    Unten links KachelX 61222 KachelY + 1 14099 2.72799308 1.23988496 156.302490 71.040175
    Unten rechts KachelX + 1 61223 KachelY + 1 14099 2.72808896 1.23988496 156.307984 71.040175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23991611-1.23988496) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23991611-1.23988496) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72799308-2.72808896) × cos(1.23991611) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324875625115515 × 6371000     		do = 198.450756417607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72799308-2.72808896) × cos(1.23988496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324905085280623 × 6371000     		du = 198.468752203065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23991611)-sin(1.23988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324875625115515-0.324905085280623)×R²
    abs(2.72808896-2.72799308)×2.94601651084081e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94601651084081e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94601651084081e-05×40589641000000     		ar = 39385.6580035482m²