Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61218 / 33827
↖ ↑ ↗
← N 65.326739°
W 11.859741°		 ← 127.47 m → N 65.326739°
W 11.856995°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 65.325592°
W 11.859741°		 ← 127.48 m →
16 251 m²		 N 65.325592°
W 11.856995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467060089111328 y=0.258083343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467060089111328 × 217)
    floor (0.467060089111328 × 131072)
    floor (61218.5)     		tx = 61218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258083343505859 × 217)
    floor (0.258083343505859 × 131072)
    floor (33827.5)     		ty = 33827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61218 / 33827 ti = "17/61218/33827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61218/33827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61218 ÷ 217
    61218 ÷ 131072     		x = 0.467056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33827 ÷ 217
    33827 ÷ 131072     		y = 0.258079528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.065887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20699153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258079528808594 × 2 - 1) × π
    0.483840942382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.52003115005236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20699153} λ = -0.20699153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52003115005236))-π/2
    2×atan(4.57236762241469)-π/2
    2×1.35548150172877-π/2
    2.71096300345755-1.57079632675     		φ = 1.14016668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20699153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.859741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14016668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.326739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61218 KachelY 33827 -0.20699153 1.14016668 -11.859741 65.326739
    Oben rechts KachelX + 1 61219 KachelY 33827 -0.20694360 1.14016668 -11.856995 65.326739
    Unten links KachelX 61218 KachelY + 1 33828 -0.20699153 1.14014667 -11.859741 65.325592
    Unten rechts KachelX + 1 61219 KachelY + 1 33828 -0.20694360 1.14014667 -11.856995 65.325592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14016668-1.14014667) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14016668-1.14014667) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20699153--0.20694360) × cos(1.14016668) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417443047127075 × 6371000     		do = 127.471256280114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20699153--0.20694360) × cos(1.14014667) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417461230192296 × 6371000     		du = 127.476808697821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14016668)-sin(1.14014667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417443047127075-0.417461230192296)×R²
    abs(-0.20694360--0.20699153)×1.81830652205006e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81830652205006e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81830652205006e-05×40589641000000     		ar = 16250.8625909085m²