Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61217 / 33825
↖ ↑ ↗
← N 65.329032°
W 11.862488°		 ← 127.49 m → N 65.329032°
W 11.859741°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 65.327885°
W 11.862488°		 ← 127.49 m →
16 253 m²		 N 65.327885°
W 11.859741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467052459716797 y=0.258068084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467052459716797 × 217)
    floor (0.467052459716797 × 131072)
    floor (61217.5)     		tx = 61217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258068084716797 × 217)
    floor (0.258068084716797 × 131072)
    floor (33825.5)     		ty = 33825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61217 / 33825 ti = "17/61217/33825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61217/33825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61217 ÷ 217
    61217 ÷ 131072     		x = 0.467048645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33825 ÷ 217
    33825 ÷ 131072     		y = 0.258064270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467048645019531 × 2 - 1) × π
    -0.0659027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20703947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258064270019531 × 2 - 1) × π
    0.483871459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.5201270238516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20703947} λ = -0.20703947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5201270238516))-π/2
    2×atan(4.57280601368496)-π/2
    2×1.3555015117827-π/2
    2.71100302356541-1.57079632675     		φ = 1.14020670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20703947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.862488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14020670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.329032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61217 KachelY 33825 -0.20703947 1.14020670 -11.862488 65.329032
    Oben rechts KachelX + 1 61218 KachelY 33825 -0.20699153 1.14020670 -11.859741 65.329032
    Unten links KachelX 61217 KachelY + 1 33826 -0.20703947 1.14018669 -11.862488 65.327885
    Unten rechts KachelX + 1 61218 KachelY + 1 33826 -0.20699153 1.14018669 -11.859741 65.327885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14020670-1.14018669) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14020670-1.14018669) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20703947--0.20699153) × cos(1.14020670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417406680495209 × 6371000     		do = 127.486744271183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20703947--0.20699153) × cos(1.14018669) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41742486389471 × 6371000     		du = 127.492297949431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14020670)-sin(1.14018669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417406680495209-0.41742486389471)×R²
    abs(-0.20699153--0.20703947)×1.81833995017144e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81833995017144e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81833995017144e-05×40589641000000     		ar = 16252.8371377073m²