Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61217 / 14102
↖ ↑ ↗
← N 71.034820°
E156.275024°		 ← 198.52 m → N 71.034820°
E156.280518°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 71.033035°
E156.275024°		 ← 198.54 m →
39 413 m²		 N 71.033035°
E156.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934104919433594 y=0.215187072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934104919433594 × 216)
    floor (0.934104919433594 × 65536)
    floor (61217.5)     		tx = 61217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215187072753906 × 216)
    floor (0.215187072753906 × 65536)
    floor (14102.5)     		ty = 14102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61217 / 14102 ti = "16/61217/14102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61217/14102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61217 ÷ 216
    61217 ÷ 65536     		x = 0.934097290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14102 ÷ 216
    14102 ÷ 65536     		y = 0.215179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934097290039062 × 2 - 1) × π
    0.868194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72751371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215179443359375 × 2 - 1) × π
    0.56964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78958033661594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72751371} λ = 2.72751371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78958033661594))-π/2
    2×atan(5.98693943984188)-π/2
    2×1.40529391209227-π/2
    2.81058782418453-1.57079632675     		φ = 1.23979150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72751371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.275024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23979150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.034820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61217 KachelY 14102 2.72751371 1.23979150 156.275024 71.034820
    Oben rechts KachelX + 1 61218 KachelY 14102 2.72760959 1.23979150 156.280518 71.034820
    Unten links KachelX 61217 KachelY + 1 14103 2.72751371 1.23976034 156.275024 71.033035
    Unten rechts KachelX + 1 61218 KachelY + 1 14103 2.72760959 1.23976034 156.280518 71.033035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23979150-1.23976034) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23979150-1.23976034) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72751371-2.72760959) × cos(1.23979150) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32499347334142 × 6371000     		do = 198.522744180817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72751371-2.72760959) × cos(1.23976034) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325022941702266 × 6371000     		du = 198.540744972653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23979150)-sin(1.23976034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32499347334142-0.325022941702266)×R²
    abs(2.72760959-2.72751371)×2.94683608460522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94683608460522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94683608460522e-05×40589641000000     		ar = 39412.5934080977m²