Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61217 / 14101
↖ ↑ ↗
← N 71.036605°
E156.275024°		 ← 198.50 m → N 71.036605°
E156.280518°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 71.034820°
E156.275024°		 ← 198.52 m →
39 396 m²		 N 71.034820°
E156.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934104919433594 y=0.215171813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934104919433594 × 216)
    floor (0.934104919433594 × 65536)
    floor (61217.5)     		tx = 61217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215171813964844 × 216)
    floor (0.215171813964844 × 65536)
    floor (14101.5)     		ty = 14101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61217 / 14101 ti = "16/61217/14101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61217/14101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61217 ÷ 216
    61217 ÷ 65536     		x = 0.934097290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14101 ÷ 216
    14101 ÷ 65536     		y = 0.215164184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934097290039062 × 2 - 1) × π
    0.868194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72751371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215164184570312 × 2 - 1) × π
    0.569671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78967621041518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72751371} λ = 2.72751371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78967621041518))-π/2
    2×atan(5.987513457988)-π/2
    2×1.40530949056563-π/2
    2.81061898113127-1.57079632675     		φ = 1.23982265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72751371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.275024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23982265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.036605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61217 KachelY 14101 2.72751371 1.23982265 156.275024 71.036605
    Oben rechts KachelX + 1 61218 KachelY 14101 2.72760959 1.23982265 156.280518 71.036605
    Unten links KachelX 61217 KachelY + 1 14102 2.72751371 1.23979150 156.275024 71.034820
    Unten rechts KachelX + 1 61218 KachelY + 1 14102 2.72760959 1.23979150 156.280518 71.034820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23982265-1.23979150) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23982265-1.23979150) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72751371-2.72760959) × cos(1.23982265) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324964014122287 × 6371000     		do = 198.50474897321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72751371-2.72760959) × cos(1.23979150) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32499347334142 × 6371000     		du = 198.522744180817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23982265)-sin(1.23979150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324964014122287-0.32499347334142)×R²
    abs(2.72760959-2.72751371)×2.94592191332765e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94592191332765e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94592191332765e-05×40589641000000     		ar = 39396.3731278433m²