Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61214 / 34282
↖ ↑ ↗
← N 64.799866°
W 11.870728°		 ← 130.04 m → N 64.799866°
W 11.867981°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.798696°
W 11.870728°		 ← 130.05 m →
16 919 m²		 N 64.798696°
W 11.867981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467029571533203 y=0.261554718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467029571533203 × 217)
    floor (0.467029571533203 × 131072)
    floor (61214.5)     		tx = 61214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261554718017578 × 217)
    floor (0.261554718017578 × 131072)
    floor (34282.5)     		ty = 34282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61214 / 34282 ti = "17/61214/34282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61214/34282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61214 ÷ 217
    61214 ÷ 131072     		x = 0.467025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34282 ÷ 217
    34282 ÷ 131072     		y = 0.261550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.065948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20718328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261550903320312 × 2 - 1) × π
    0.476898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49821986072524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20718328} λ = -0.20718328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49821986072524))-π/2
    2×atan(4.47371813639787)-π/2
    2×1.3508836659935-π/2
    2.70176733198701-1.57079632675     		φ = 1.13097101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20718328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.870728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13097101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.799866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61214 KachelY 34282 -0.20718328 1.13097101 -11.870728 64.799866
    Oben rechts KachelX + 1 61215 KachelY 34282 -0.20713534 1.13097101 -11.867981 64.799866
    Unten links KachelX 61214 KachelY + 1 34283 -0.20718328 1.13095059 -11.870728 64.798696
    Unten rechts KachelX + 1 61215 KachelY + 1 34283 -0.20713534 1.13095059 -11.867981 64.798696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13097101-1.13095059) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13097101-1.13095059) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20718328--0.20713534) × cos(1.13097101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		do = 130.044603341629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20718328--0.20713534) × cos(1.13095059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425799890107092 × 6371000     		du = 130.050246527867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13097101)-sin(1.13095059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425781413647844-0.425799890107092)×R²
    abs(-0.20713534--0.20718328)×1.84764592487396e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84764592487396e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84764592487396e-05×40589641000000     		ar = 16918.6263861893m²