Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61211 / 14106
↖ ↑ ↗
← N 71.027678°
E156.242065°		 ← 198.59 m → N 71.027678°
E156.247559°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 71.025892°
E156.242065°		 ← 198.61 m →
39 440 m²		 N 71.025892°
E156.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934013366699219 y=0.215248107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934013366699219 × 216)
    floor (0.934013366699219 × 65536)
    floor (61211.5)     		tx = 61211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215248107910156 × 216)
    floor (0.215248107910156 × 65536)
    floor (14106.5)     		ty = 14106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61211 / 14106 ti = "16/61211/14106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61211/14106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61211 ÷ 216
    61211 ÷ 65536     		x = 0.934005737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14106 ÷ 216
    14106 ÷ 65536     		y = 0.215240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934005737304688 × 2 - 1) × π
    0.868011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72693847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215240478515625 × 2 - 1) × π
    0.56951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78919684141898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72693847} λ = 2.72693847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78919684141898))-π/2
    2×atan(5.98464391751123)-π/2
    2×1.40523158407211-π/2
    2.81046316814422-1.57079632675     		φ = 1.23966684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72693847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.242065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23966684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.027678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61211 KachelY 14106 2.72693847 1.23966684 156.242065 71.027678
    Oben rechts KachelX + 1 61212 KachelY 14106 2.72703435 1.23966684 156.247559 71.027678
    Unten links KachelX 61211 KachelY + 1 14107 2.72693847 1.23963567 156.242065 71.025892
    Unten rechts KachelX + 1 61212 KachelY + 1 14107 2.72703435 1.23963567 156.247559 71.025892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23966684-1.23963567) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23966684-1.23963567) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72693847-2.72703435) × cos(1.23966684) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325111363804727 × 6371000     		do = 198.594757744806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72693847-2.72703435) × cos(1.23963567) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325140840359536 × 6371000     		du = 198.612763541936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23966684)-sin(1.23963567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325111363804727-0.325140840359536)×R²
    abs(2.72703435-2.72693847)×2.94765548093934e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94765548093934e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94765548093934e-05×40589641000000     		ar = 39439.543108958m²