Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61210 / 33717
↖ ↑ ↗
← N 65.452556°
W 11.881714°		 ← 126.89 m → N 65.452556°
W 11.878967°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 65.451415°
W 11.881714°		 ← 126.89 m →
16 096 m²		 N 65.451415°
W 11.878967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466999053955078 y=0.257244110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466999053955078 × 217)
    floor (0.466999053955078 × 131072)
    floor (61210.5)     		tx = 61210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257244110107422 × 217)
    floor (0.257244110107422 × 131072)
    floor (33717.5)     		ty = 33717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61210 / 33717 ti = "17/61210/33717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61210/33717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61210 ÷ 217
    61210 ÷ 131072     		x = 0.466995239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33717 ÷ 217
    33717 ÷ 131072     		y = 0.257240295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466995239257812 × 2 - 1) × π
    -0.066009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20737503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257240295410156 × 2 - 1) × π
    0.485519409179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.52530420901057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20737503} λ = -0.20737503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52530420901057))-π/2
    2×atan(4.59654166603135)-π/2
    2×1.35657946911506-π/2
    2.71315893823012-1.57079632675     		φ = 1.14236261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20737503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.881714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14236261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.452556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61210 KachelY 33717 -0.20737503 1.14236261 -11.881714 65.452556
    Oben rechts KachelX + 1 61211 KachelY 33717 -0.20732709 1.14236261 -11.878967 65.452556
    Unten links KachelX 61210 KachelY + 1 33718 -0.20737503 1.14234270 -11.881714 65.451415
    Unten rechts KachelX + 1 61211 KachelY + 1 33718 -0.20732709 1.14234270 -11.878967 65.451415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14236261-1.14234270) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14236261-1.14234270) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20737503--0.20732709) × cos(1.14236261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415446593880993 × 6371000     		do = 126.888083366572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20737503--0.20732709) × cos(1.14234270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		du = 126.893614749968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14236261)-sin(1.14234270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415446593880993-0.415464704284511)×R²
    abs(-0.20732709--0.20737503)×1.81104035178459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81104035178459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81104035178459e-05×40589641000000     		ar = 16095.674043761m²