Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6121 / 6315
↖ ↑ ↗
← S 69.333835°
E 88.989258°		 ← 1 724.55 m → S 69.333835°
E 89.033203°		 →
↑
1 723.93 m
↓
↑
1 723.93 m
↓
S 69.349338°
E 88.989258°		 ← 1 723.32 m →
2 971 940 m²		 S 69.349338°
E 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74725341796875 y=0.77093505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74725341796875 × 213)
    floor (0.74725341796875 × 8192)
    floor (6121.5)     		tx = 6121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77093505859375 × 213)
    floor (0.77093505859375 × 8192)
    floor (6315.5)     		ty = 6315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6121 / 6315 ti = "13/6121/6315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6121/6315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6121 ÷ 213
    6121 ÷ 8192     		x = 0.7471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6315 ÷ 213
    6315 ÷ 8192     		y = 0.7708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    0.494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55315555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7708740234375 × 2 - 1) × π
    -0.541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70195168411047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55315555} λ = 1.55315555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70195168411047))-π/2
    2×atan(0.182327331222603)-π/2
    2×0.180346312214992-π/2
    0.360692624429984-1.57079632675     		φ = -1.21010370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55315555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21010370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.333835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6121 KachelY 6315 1.55315555 -1.21010370 88.989258 -69.333835
    Oben rechts KachelX + 1 6122 KachelY 6315 1.55392254 -1.21010370 89.033203 -69.333835
    Unten links KachelX 6121 KachelY + 1 6316 1.55315555 -1.21037429 88.989258 -69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 6122 KachelY + 1 6316 1.55392254 -1.21037429 89.033203 -69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21010370--1.21037429) × R
    0.000270590000000182 × 6371000     		dl = 1723.92889000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21010370--1.21037429) × R
    0.000270590000000182 × 6371000     		dr = 1723.92889000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55315555-1.55392254) × cos(-1.21010370) × R
    0.000766990000000023 × 0.352922375942013 × 6371000     		do = 1724.55282193155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55315555-1.55392254) × cos(-1.21037429) × R
    0.000766990000000023 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 1723.31560504911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21010370)-sin(-1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352922375942013-0.352669184786511)×R²
    abs(1.55392254-1.55315555)×0.000253191155501153×R²
    0.000766990000000023×0.000253191155501153×6371000²
    0.000766990000000023×0.000253191155501153×40589641000000     		ar = 2971940.01322826m²