Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6121 / 6312
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 88.989258°		 ← 1 728.27 m → S 69.287257°
E 89.033203°		 →
↑
1 727.69 m
↓
↑
1 727.69 m
↓
S 69.302794°
E 88.989258°		 ← 1 727.03 m →
2 984 839 m²		 S 69.302794°
E 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74725341796875 y=0.77056884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74725341796875 × 213)
    floor (0.74725341796875 × 8192)
    floor (6121.5)     		tx = 6121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77056884765625 × 213)
    floor (0.77056884765625 × 8192)
    floor (6312.5)     		ty = 6312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6121 / 6312 ti = "13/6121/6312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6121/6312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6121 ÷ 213
    6121 ÷ 8192     		x = 0.7471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6312 ÷ 213
    6312 ÷ 8192     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    0.494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55315555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55315555} λ = 1.55315555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55315555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6121 KachelY 6312 1.55315555 -1.20929076 88.989258 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 6122 KachelY 6312 1.55392254 -1.20929076 89.033203 -69.287257
    Unten links KachelX 6121 KachelY + 1 6313 1.55315555 -1.20956194 88.989258 -69.302794
    Unten rechts KachelX + 1 6122 KachelY + 1 6313 1.55392254 -1.20956194 89.033203 -69.302794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.20956194) × R
    0.000271179999999926 × 6371000     		dl = 1727.68777999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.20956194) × R
    0.000271179999999926 × 6371000     		dr = 1727.68777999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55315555-1.55392254) × cos(-1.20929076) × R
    0.000766990000000023 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 1728.26906226645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55315555-1.55392254) × cos(-1.20956194) × R
    0.000766990000000023 × 0.353429223280258 × 6371000     		du = 1727.02952804894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.20956194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353429223280258)×R²
    abs(1.55392254-1.55315555)×0.000253665388232738×R²
    0.000766990000000023×0.000253665388232738×6371000²
    0.000766990000000023×0.000253665388232738×40589641000000     		ar = 2984838.59366116m²