Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61207 / 34553
↖ ↑ ↗
← N 64.481078°
W 11.889954°		 ← 131.58 m → N 64.481078°
W 11.887207°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 64.479894°
W 11.889954°		 ← 131.59 m →
17 311 m²		 N 64.479894°
W 11.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466976165771484 y=0.263622283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466976165771484 × 217)
    floor (0.466976165771484 × 131072)
    floor (61207.5)     		tx = 61207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263622283935547 × 217)
    floor (0.263622283935547 × 131072)
    floor (34553.5)     		ty = 34553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61207 / 34553 ti = "17/61207/34553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61207/34553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61207 ÷ 217
    61207 ÷ 131072     		x = 0.466972351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34553 ÷ 217
    34553 ÷ 131072     		y = 0.263618469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466972351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0660552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20751884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263618469238281 × 2 - 1) × π
    0.472763061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.4852289609282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20751884} λ = -0.20751884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4852289609282))-π/2
    2×atan(4.41597638308939)-π/2
    2×1.34810172018659-π/2
    2.69620344037318-1.57079632675     		φ = 1.12540711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20751884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.889954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12540711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.481078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61207 KachelY 34553 -0.20751884 1.12540711 -11.889954 64.481078
    Oben rechts KachelX + 1 61208 KachelY 34553 -0.20747090 1.12540711 -11.887207 64.481078
    Unten links KachelX 61207 KachelY + 1 34554 -0.20751884 1.12538646 -11.889954 64.479894
    Unten rechts KachelX + 1 61208 KachelY + 1 34554 -0.20747090 1.12538646 -11.887207 64.479894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12540711-1.12538646) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12540711-1.12538646) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20751884--0.20747090) × cos(1.12540711) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430809158917294 × 6371000     		do = 131.580206161082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20751884--0.20747090) × cos(1.12538646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430827794274537 × 6371000     		du = 131.585897878858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12540711)-sin(1.12538646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430809158917294-0.430827794274537)×R²
    abs(-0.20747090--0.20751884)×1.86353572433351e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86353572433351e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86353572433351e-05×40589641000000     		ar = 17311.2176448344m²