Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61207 / 14109
↖ ↑ ↗
← N 71.022320°
E156.220093°		 ← 198.63 m → N 71.022320°
E156.225586°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
N 71.020533°
E156.220093°		 ← 198.65 m →
39 459 m²		 N 71.020533°
E156.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933952331542969 y=0.215293884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933952331542969 × 216)
    floor (0.933952331542969 × 65536)
    floor (61207.5)     		tx = 61207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215293884277344 × 216)
    floor (0.215293884277344 × 65536)
    floor (14109.5)     		ty = 14109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61207 / 14109 ti = "16/61207/14109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61207/14109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61207 ÷ 216
    61207 ÷ 65536     		x = 0.933944702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14109 ÷ 216
    14109 ÷ 65536     		y = 0.215286254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933944702148438 × 2 - 1) × π
    0.867889404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72655498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215286254882812 × 2 - 1) × π
    0.569427490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78890922002126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72655498} λ = 2.72655498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78890922002126))-π/2
    2×atan(5.98292285338212)-π/2
    2×1.40518482322082-π/2
    2.81036964644164-1.57079632675     		φ = 1.23957332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72655498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.220093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23957332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.022320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61207 KachelY 14109 2.72655498 1.23957332 156.220093 71.022320
    Oben rechts KachelX + 1 61208 KachelY 14109 2.72665085 1.23957332 156.225586 71.022320
    Unten links KachelX 61207 KachelY + 1 14110 2.72655498 1.23954214 156.220093 71.020533
    Unten rechts KachelX + 1 61208 KachelY + 1 14110 2.72665085 1.23954214 156.225586 71.020533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23957332-1.23954214) × R
    3.11800000001305e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23957332-1.23954214) × R
    3.11800000001305e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72655498-2.72665085) × cos(1.23957332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32519980197789 × 6371000     		do = 198.628061854512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72655498-2.72665085) × cos(1.23954214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325229287041174 × 6371000     		du = 198.646070970564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23957332)-sin(1.23954214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32519980197789-0.325229287041174)×R²
    abs(2.72665085-2.72655498)×2.94850632839849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94850632839849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94850632839849e-05×40589641000000     		ar = 39458.8122722003m²