Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61200 / 41201
↖ ↑ ↗
← N 55.402510°
W 11.909180°		 ← 173.42 m → N 55.402510°
W 11.906433°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
N 55.400951°
W 11.909180°		 ← 173.43 m →
30 075 m²		 N 55.400951°
W 11.906433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466922760009766 y=0.314342498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466922760009766 × 217)
    floor (0.466922760009766 × 131072)
    floor (61200.5)     		tx = 61200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314342498779297 × 217)
    floor (0.314342498779297 × 131072)
    floor (41201.5)     		ty = 41201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61200 / 41201 ti = "17/61200/41201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61200/41201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61200 ÷ 217
    61200 ÷ 131072     		x = 0.4669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41201 ÷ 217
    41201 ÷ 131072     		y = 0.314338684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20785440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314338684082031 × 2 - 1) × π
    0.371322631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.16654445225407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20785440} λ = -0.20785440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16654445225407))-π/2
    2×atan(3.2108781035918)-π/2
    2×1.26887627292966-π/2
    2.53775254585933-1.57079632675     		φ = 0.96695622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20785440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.909180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96695622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.402510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61200 KachelY 41201 -0.20785440 0.96695622 -11.909180 55.402510
    Oben rechts KachelX + 1 61201 KachelY 41201 -0.20780646 0.96695622 -11.906433 55.402510
    Unten links KachelX 61200 KachelY + 1 41202 -0.20785440 0.96692900 -11.909180 55.400951
    Unten rechts KachelX + 1 61201 KachelY + 1 41202 -0.20780646 0.96692900 -11.906433 55.400951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96695622-0.96692900) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96695622-0.96692900) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20785440--0.20780646) × cos(0.96695622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567807679285961 × 6371000     		do = 173.423080623584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20785440--0.20780646) × cos(0.96692900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567830085524762 × 6371000     		du = 173.429924065651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96695622)-sin(0.96692900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567807679285961-0.567830085524762)×R²
    abs(-0.20780646--0.20785440)×2.24062388010093e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24062388010093e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24062388010093e-05×40589641000000     		ar = 30075.3847098084m²