Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6120 / 6395
↖ ↑ ↗
← S 70.539543°
E 88.945313°		 ← 1 627.97 m → S 70.539543°
E 88.989258°		 →
↑
1 627.41 m
↓
↑
1 627.41 m
↓
S 70.554179°
E 88.945313°		 ← 1 626.79 m →
2 648 407 m²		 S 70.554179°
E 88.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74713134765625 y=0.78070068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74713134765625 × 213)
    floor (0.74713134765625 × 8192)
    floor (6120.5)     		tx = 6120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78070068359375 × 213)
    floor (0.78070068359375 × 8192)
    floor (6395.5)     		ty = 6395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6120 / 6395 ti = "13/6120/6395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6120/6395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6120 ÷ 213
    6120 ÷ 8192     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6395 ÷ 213
    6395 ÷ 8192     		y = 0.7806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76331091562415))-π/2
    2×atan(0.171476179747361)-π/2
    2×0.169824522761433-π/2
    0.339649045522865-1.57079632675     		φ = -1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6120 KachelY 6395 1.55238856 -1.23114728 88.945313 -70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 6121 KachelY 6395 1.55315555 -1.23114728 88.989258 -70.539543
    Unten links KachelX 6120 KachelY + 1 6396 1.55238856 -1.23140272 88.945313 -70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 6121 KachelY + 1 6396 1.55315555 -1.23140272 88.989258 -70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23114728--1.23140272) × R
    0.000255439999999885 × 6371000     		dl = 1627.40823999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23114728--1.23140272) × R
    0.000255439999999885 × 6371000     		dr = 1627.40823999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55315555) × cos(-1.23114728) × R
    0.000766990000000023 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 1627.9655790118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55315555) × cos(-1.23140272) × R
    0.000766990000000023 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 1626.7886280122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23114728)-sin(-1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.332915350838873)×R²
    abs(1.55315555-1.55238856)×0.000240857999745325×R²
    0.000766990000000023×0.000240857999745325×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240857999745325×40589641000000     		ar = 2648406.92224341m²