Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61198 / 14121
↖ ↑ ↗
← N 71.000872°
E156.170654°		 ← 198.87 m → N 71.000872°
E156.176148°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
N 70.999083°
E156.170654°		 ← 198.88 m →
39 557 m²		 N 70.999083°
E156.176148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933815002441406 y=0.215476989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933815002441406 × 216)
    floor (0.933815002441406 × 65536)
    floor (61198.5)     		tx = 61198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215476989746094 × 216)
    floor (0.215476989746094 × 65536)
    floor (14121.5)     		ty = 14121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61198 / 14121 ti = "16/61198/14121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61198/14121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61198 ÷ 216
    61198 ÷ 65536     		x = 0.933807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14121 ÷ 216
    14121 ÷ 65536     		y = 0.215469360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933807373046875 × 2 - 1) × π
    0.86761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72569211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215469360351562 × 2 - 1) × π
    0.569061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78775873443037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72569211} λ = 2.72569211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78775873443037))-π/2
    2×atan(5.9760435448794)-π/2
    2×1.40499765258402-π/2
    2.80999530516804-1.57079632675     		φ = 1.23919898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72569211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23919898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.000872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61198 KachelY 14121 2.72569211 1.23919898 156.170654 71.000872
    Oben rechts KachelX + 1 61199 KachelY 14121 2.72578799 1.23919898 156.176148 71.000872
    Unten links KachelX 61198 KachelY + 1 14122 2.72569211 1.23916776 156.170654 70.999083
    Unten rechts KachelX + 1 61199 KachelY + 1 14122 2.72578799 1.23916776 156.176148 70.999083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23919898-1.23916776) × R
    3.12200000001095e-05 × 6371000     		dl = 198.902620000698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23919898-1.23916776) × R
    3.12200000001095e-05 × 6371000     		dr = 198.902620000698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72569211-2.72578799) × cos(1.23919898) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.325553772056991 × 6371000     		do = 198.865003481386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72569211-2.72578799) × cos(1.23916776) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.325583291142865 × 6371000     		du = 198.883035258681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23919898)-sin(1.23916776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325553772056991-0.325583291142865)×R²
    abs(2.72578799-2.72569211)×2.95190858743966e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.95190858743966e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.95190858743966e-05×40589641000000     		ar = 39556.5635061922m²