Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61195 / 41251
↖ ↑ ↗
← N 55.324457°
W 11.922913°		 ← 173.77 m → N 55.324457°
W 11.920166°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 55.322894°
W 11.922913°		 ← 173.77 m →
30 190 m²		 N 55.322894°
W 11.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466884613037109 y=0.314723968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466884613037109 × 217)
    floor (0.466884613037109 × 131072)
    floor (61195.5)     		tx = 61195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314723968505859 × 217)
    floor (0.314723968505859 × 131072)
    floor (41251.5)     		ty = 41251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61195 / 41251 ti = "17/61195/41251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61195/41251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61195 ÷ 217
    61195 ÷ 131072     		x = 0.466880798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41251 ÷ 217
    41251 ÷ 131072     		y = 0.314720153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466880798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0662384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20809408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314720153808594 × 2 - 1) × π
    0.370559692382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16414760727306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20809408} λ = -0.20809408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16414760727306))-π/2
    2×atan(3.20319134219229)-π/2
    2×1.26819512792082-π/2
    2.53639025584164-1.57079632675     		φ = 0.96559393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20809408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.922913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96559393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.324457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61195 KachelY 41251 -0.20809408 0.96559393 -11.922913 55.324457
    Oben rechts KachelX + 1 61196 KachelY 41251 -0.20804614 0.96559393 -11.920166 55.324457
    Unten links KachelX 61195 KachelY + 1 41252 -0.20809408 0.96556666 -11.922913 55.322894
    Unten rechts KachelX + 1 61196 KachelY + 1 41252 -0.20804614 0.96556666 -11.920166 55.322894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96559393-0.96556666) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96559393-0.96556666) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20809408--0.20804614) × cos(0.96559393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568928536396604 × 6371000     		do = 173.765419236036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20809408--0.20804614) × cos(0.96556666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568950962677598 × 6371000     		du = 173.772268799504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96559393)-sin(0.96556666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568928536396604-0.568950962677598)×R²
    abs(-0.20804614--0.20809408)×2.24262809946918e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24262809946918e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24262809946918e-05×40589641000000     		ar = 30190.1071956789m²