Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61195 / 41231
↖ ↑ ↗
← N 55.355697°
W 11.922913°		 ← 173.63 m → N 55.355697°
W 11.920166°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.354136°
W 11.922913°		 ← 173.64 m →
30 144 m²		 N 55.354136°
W 11.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466884613037109 y=0.314571380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466884613037109 × 217)
    floor (0.466884613037109 × 131072)
    floor (61195.5)     		tx = 61195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314571380615234 × 217)
    floor (0.314571380615234 × 131072)
    floor (41231.5)     		ty = 41231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61195 / 41231 ti = "17/61195/41231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61195/41231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61195 ÷ 217
    61195 ÷ 131072     		x = 0.466880798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41231 ÷ 217
    41231 ÷ 131072     		y = 0.314567565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466880798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0662384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20809408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314567565917969 × 2 - 1) × π
    0.370864868164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16510634526546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20809408} λ = -0.20809408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16510634526546))-π/2
    2×atan(3.20626383605193)-π/2
    2×1.26846774712116-π/2
    2.53693549424232-1.57079632675     		φ = 0.96613917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20809408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.922913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96613917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.355697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61195 KachelY 41231 -0.20809408 0.96613917 -11.922913 55.355697
    Oben rechts KachelX + 1 61196 KachelY 41231 -0.20804614 0.96613917 -11.920166 55.355697
    Unten links KachelX 61195 KachelY + 1 41232 -0.20809408 0.96611192 -11.922913 55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 61196 KachelY + 1 41232 -0.20804614 0.96611192 -11.920166 55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96613917-0.96611192) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96613917-0.96611192) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20809408--0.20804614) × cos(0.96613917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568480053582505 × 6371000     		do = 173.628441040663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20809408--0.20804614) × cos(0.96611192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 173.635288161466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96613917)-sin(0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568480053582505-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.20804614--0.20809408)×2.24182834213105e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24182834213105e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24182834213105e-05×40589641000000     		ar = 30144.1846074198m²