Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61195 / 14115
↖ ↑ ↗
← N 71.011598°
E156.154175°		 ← 198.74 m → N 71.011598°
E156.159668°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
N 71.009811°
E156.154175°		 ← 198.75 m →
39 506 m²		 N 71.009811°
E156.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933769226074219 y=0.215385437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933769226074219 × 216)
    floor (0.933769226074219 × 65536)
    floor (61195.5)     		tx = 61195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215385437011719 × 216)
    floor (0.215385437011719 × 65536)
    floor (14115.5)     		ty = 14115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61195 / 14115 ti = "16/61195/14115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61195/14115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61195 ÷ 216
    61195 ÷ 65536     		x = 0.933761596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14115 ÷ 216
    14115 ÷ 65536     		y = 0.215377807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933761596679688 × 2 - 1) × π
    0.867523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72540449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215377807617188 × 2 - 1) × π
    0.569244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78833397722581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72540449} λ = 2.72540449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78833397722581))-π/2
    2×atan(5.97948220981262)-π/2
    2×1.40509126335485-π/2
    2.8101825267097-1.57079632675     		φ = 1.23938620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72540449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23938620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.011598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61195 KachelY 14115 2.72540449 1.23938620 156.154175 71.011598
    Oben rechts KachelX + 1 61196 KachelY 14115 2.72550036 1.23938620 156.159668 71.011598
    Unten links KachelX 61195 KachelY + 1 14116 2.72540449 1.23935500 156.154175 71.009811
    Unten rechts KachelX + 1 61196 KachelY + 1 14116 2.72550036 1.23935500 156.159668 71.009811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23938620-1.23935500) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23938620-1.23935500) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72540449-2.72550036) × cos(1.23938620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325376745437617 × 6371000     		do = 198.736136755695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72540449-2.72550036) × cos(1.23935500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325406247514438 × 6371000     		du = 198.754156263408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23938620)-sin(1.23935500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325376745437617-0.325406247514438)×R²
    abs(2.72550036-2.72540449)×2.95020768216747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95020768216747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95020768216747e-05×40589641000000     		ar = 39505.6062493999m²