Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61194 / 41230
↖ ↑ ↗
← N 55.357258°
W 11.925659°		 ← 173.62 m → N 55.357258°
W 11.922913°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.355697°
W 11.925659°		 ← 173.63 m →
30 143 m²		 N 55.355697°
W 11.922913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466876983642578 y=0.314563751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466876983642578 × 217)
    floor (0.466876983642578 × 131072)
    floor (61194.5)     		tx = 61194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314563751220703 × 217)
    floor (0.314563751220703 × 131072)
    floor (41230.5)     		ty = 41230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61194 / 41230 ti = "17/61194/41230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61194/41230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61194 ÷ 217
    61194 ÷ 131072     		x = 0.466873168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41230 ÷ 217
    41230 ÷ 131072     		y = 0.314559936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466873168945312 × 2 - 1) × π
    -0.066253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20814202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314559936523438 × 2 - 1) × π
    0.370880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16515428216508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20814202} λ = -0.20814202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16515428216508))-π/2
    2×atan(3.20641753808356)-π/2
    2×1.26848137243817-π/2
    2.53696274487633-1.57079632675     		φ = 0.96616642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20814202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.925659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96616642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.357258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61194 KachelY 41230 -0.20814202 0.96616642 -11.925659 55.357258
    Oben rechts KachelX + 1 61195 KachelY 41230 -0.20809408 0.96616642 -11.922913 55.357258
    Unten links KachelX 61194 KachelY + 1 41231 -0.20814202 0.96613917 -11.925659 55.355697
    Unten rechts KachelX + 1 61195 KachelY + 1 41231 -0.20809408 0.96613917 -11.922913 55.355697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96616642-0.96613917) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dl = 173.609749999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96616642-0.96613917) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dr = 173.609749999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20814202--0.20809408) × cos(0.96616642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568457634876952 × 6371000     		do = 173.62159379103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20814202--0.20809408) × cos(0.96613917) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568480053582505 × 6371000     		du = 173.628441040763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96616642)-sin(0.96613917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568457634876952-0.568480053582505)×R²
    abs(-0.20809408--0.20814202)×2.24187055530845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24187055530845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24187055530845e-05×40589641000000     		ar = 30142.9958690611m²