Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61189 / 14105
↖ ↑ ↗
← N 71.029464°
E156.121216°		 ← 198.56 m → N 71.029464°
E156.126709°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 71.027678°
E156.121216°		 ← 198.57 m →
39 432 m²		 N 71.027678°
E156.126709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933677673339844 y=0.215232849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933677673339844 × 216)
    floor (0.933677673339844 × 65536)
    floor (61189.5)     		tx = 61189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215232849121094 × 216)
    floor (0.215232849121094 × 65536)
    floor (14105.5)     		ty = 14105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61189 / 14105 ti = "16/61189/14105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61189/14105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61189 ÷ 216
    61189 ÷ 65536     		x = 0.933670043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14105 ÷ 216
    14105 ÷ 65536     		y = 0.215225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933670043945312 × 2 - 1) × π
    0.867340087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.72482925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215225219726562 × 2 - 1) × π
    0.569549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78929271521822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72482925} λ = 2.72482925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78929271521822))-π/2
    2×atan(5.98521771556636)-π/2
    2×1.40524716819638-π/2
    2.81049433639276-1.57079632675     		φ = 1.23969801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72482925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.121216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23969801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.029464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61189 KachelY 14105 2.72482925 1.23969801 156.121216 71.029464
    Oben rechts KachelX + 1 61190 KachelY 14105 2.72492512 1.23969801 156.126709 71.029464
    Unten links KachelX 61189 KachelY + 1 14106 2.72482925 1.23966684 156.121216 71.027678
    Unten rechts KachelX + 1 61190 KachelY + 1 14106 2.72492512 1.23966684 156.126709 71.027678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23969801-1.23966684) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23969801-1.23966684) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72482925-2.72492512) × cos(1.23969801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32508188693405 × 6371000     		do = 198.556040787836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72482925-2.72492512) × cos(1.23966684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325111363804727 × 6371000     		du = 198.574044899944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23969801)-sin(1.23966684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32508188693405-0.325111363804727)×R²
    abs(2.72492512-2.72482925)×2.94768706775028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94768706775028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94768706775028e-05×40589641000000     		ar = 39431.8543711108m²