Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61188 / 41213
↖ ↑ ↗
← N 55.383791°
W 11.942139°		 ← 173.51 m → N 55.383791°
W 11.939392°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
N 55.382231°
W 11.942139°		 ← 173.51 m →
30 101 m²		 N 55.382231°
W 11.939392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466831207275391 y=0.314434051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466831207275391 × 217)
    floor (0.466831207275391 × 131072)
    floor (61188.5)     		tx = 61188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314434051513672 × 217)
    floor (0.314434051513672 × 131072)
    floor (41213.5)     		ty = 41213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61188 / 41213 ti = "17/61188/41213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61188/41213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61188 ÷ 217
    61188 ÷ 131072     		x = 0.466827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41213 ÷ 217
    41213 ÷ 131072     		y = 0.314430236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.06634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20842964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314430236816406 × 2 - 1) × π
    0.371139526367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16596920945863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20842964} λ = -0.20842964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16596920945863))-π/2
    2×atan(3.20903160024047)-π/2
    2×1.26871292062195-π/2
    2.5374258412439-1.57079632675     		φ = 0.96662951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20842964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96662951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.383791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61188 KachelY 41213 -0.20842964 0.96662951 -11.942139 55.383791
    Oben rechts KachelX + 1 61189 KachelY 41213 -0.20838170 0.96662951 -11.939392 55.383791
    Unten links KachelX 61188 KachelY + 1 41214 -0.20842964 0.96660228 -11.942139 55.382231
    Unten rechts KachelX + 1 61189 KachelY + 1 41214 -0.20838170 0.96660228 -11.939392 55.382231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96662951-0.96660228) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dl = 173.482329999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96662951-0.96660228) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dr = 173.482329999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20842964--0.20838170) × cos(0.96662951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568076583988607 × 6371000     		do = 173.505211041379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20842964--0.20838170) × cos(0.96660228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568098993406175 × 6371000     		du = 173.512055454323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96662951)-sin(0.96660228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568076583988607-0.568098993406175)×R²
    abs(-0.20838170--0.20842964)×2.24094175679257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24094175679257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24094175679257e-05×40589641000000     		ar = 30100.6819728675m²