Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61184 / 40704
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 11.953125°		 ← 170.04 m → N 56.170023°
W 11.950378°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.168494°
W 11.953125°		 ← 170.05 m →
28 914 m²		 N 56.168494°
W 11.950378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466800689697266 y=0.310550689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466800689697266 × 217)
    floor (0.466800689697266 × 131072)
    floor (61184.5)     		tx = 61184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310550689697266 × 217)
    floor (0.310550689697266 × 131072)
    floor (40704.5)     		ty = 40704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61184 / 40704 ti = "17/61184/40704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61184/40704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61184 ÷ 217
    61184 ÷ 131072     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40704 ÷ 217
    40704 ÷ 131072     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61184 KachelY 40704 -0.20862139 0.98035184 -11.953125 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 61185 KachelY 40704 -0.20857345 0.98035184 -11.950378 56.170023
    Unten links KachelX 61184 KachelY + 1 40705 -0.20862139 0.98032515 -11.953125 56.168494
    Unten rechts KachelX + 1 61185 KachelY + 1 40705 -0.20857345 0.98032515 -11.950378 56.168494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.98032515) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.98032515) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20857345) × cos(0.98035184) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 170.039766942744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20857345) × cos(0.98032515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556752481106046 × 6371000     		du = 170.046538538637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.98032515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.556752481106046)×R²
    abs(-0.20857345--0.20862139)×2.21710059299385e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21710059299385e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21710059299385e-05×40589641000000     		ar = 28914.4760798013m²