Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61181 / 34278
↖ ↑ ↗
← N 64.804543°
W 11.961365°		 ← 130.02 m → N 64.804543°
W 11.958618°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 64.803373°
W 11.961365°		 ← 130.03 m →
16 907 m²		 N 64.803373°
W 11.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466777801513672 y=0.261524200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466777801513672 × 217)
    floor (0.466777801513672 × 131072)
    floor (61181.5)     		tx = 61181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261524200439453 × 217)
    floor (0.261524200439453 × 131072)
    floor (34278.5)     		ty = 34278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61181 / 34278 ti = "17/61181/34278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61181/34278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61181 ÷ 217
    61181 ÷ 131072     		x = 0.466773986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34278 ÷ 217
    34278 ÷ 131072     		y = 0.261520385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466773986816406 × 2 - 1) × π
    -0.0664520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20876520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261520385742188 × 2 - 1) × π
    0.476959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49841160832372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20876520} λ = -0.20876520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49841160832372))-π/2
    2×atan(4.47457604335498)-π/2
    2×1.35092448373464-π/2
    2.70184896746928-1.57079632675     		φ = 1.13105264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20876520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.961365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13105264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.804543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61181 KachelY 34278 -0.20876520 1.13105264 -11.961365 64.804543
    Oben rechts KachelX + 1 61182 KachelY 34278 -0.20871726 1.13105264 -11.958618 64.804543
    Unten links KachelX 61181 KachelY + 1 34279 -0.20876520 1.13103223 -11.961365 64.803373
    Unten rechts KachelX + 1 61182 KachelY + 1 34279 -0.20871726 1.13103223 -11.958618 64.803373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13105264-1.13103223) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13105264-1.13103223) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20876520--0.20871726) × cos(1.13105264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425707551278559 × 6371000     		do = 130.022043872907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20876520--0.20871726) × cos(1.13103223) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425726019398969 × 6371000     		du = 130.02768451225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13105264)-sin(1.13103223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425707551278559-0.425726019398969)×R²
    abs(-0.20871726--0.20876520)×1.8468120409898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8468120409898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8468120409898e-05×40589641000000     		ar = 16907.4074439751m²