Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61180 / 41219
↖ ↑ ↗
← N 55.374429°
W 11.964111°		 ← 173.51 m → N 55.374429°
W 11.961365°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
N 55.372868°
W 11.964111°		 ← 173.52 m →
30 102 m²		 N 55.372868°
W 11.961365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466770172119141 y=0.314479827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466770172119141 × 217)
    floor (0.466770172119141 × 131072)
    floor (61180.5)     		tx = 61180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314479827880859 × 217)
    floor (0.314479827880859 × 131072)
    floor (41219.5)     		ty = 41219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61180 / 41219 ti = "17/61180/41219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61180/41219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61180 ÷ 217
    61180 ÷ 131072     		x = 0.466766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41219 ÷ 217
    41219 ÷ 131072     		y = 0.314476013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.06646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20881313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314476013183594 × 2 - 1) × π
    0.371047973632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16568158806091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20881313} λ = -0.20881313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16568158806091))-π/2
    2×atan(3.20810874680884)-π/2
    2×1.26863121546265-π/2
    2.53726243092529-1.57079632675     		φ = 0.96646610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20881313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96646610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.374429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61180 KachelY 41219 -0.20881313 0.96646610 -11.964111 55.374429
    Oben rechts KachelX + 1 61181 KachelY 41219 -0.20876520 0.96646610 -11.961365 55.374429
    Unten links KachelX 61180 KachelY + 1 41220 -0.20881313 0.96643887 -11.964111 55.372868
    Unten rechts KachelX + 1 61181 KachelY + 1 41220 -0.20876520 0.96643887 -11.961365 55.372868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96646610-0.96643887) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dl = 173.482330000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96646610-0.96643887) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dr = 173.482330000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20881313--0.20876520) × cos(0.96646610) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568211058861719 × 6371000     		do = 173.51008240247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20881313--0.20876520) × cos(0.96643887) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568233465751194 × 6371000     		du = 173.516924615726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96646610)-sin(0.96643887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568211058861719-0.568233465751194)×R²
    abs(-0.20876520--0.20881313)×2.24068894746354e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24068894746354e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24068894746354e-05×40589641000000     		ar = 30101.5268771354m²