Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6118 / 6321
↖ ↑ ↗
← S 69.426691°
E 88.857422°		 ← 1 717.14 m → S 69.426691°
E 88.901367°		 →
↑
1 716.54 m
↓
↑
1 716.54 m
↓
S 69.442128°
E 88.857422°		 ← 1 715.91 m →
2 946 481 m²		 S 69.442128°
E 88.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74688720703125 y=0.77166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74688720703125 × 213)
    floor (0.74688720703125 × 8192)
    floor (6118.5)     		tx = 6118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77166748046875 × 213)
    floor (0.77166748046875 × 8192)
    floor (6321.5)     		ty = 6321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6118 / 6321 ti = "13/6118/6321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6118/6321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6118 ÷ 213
    6118 ÷ 8192     		x = 0.746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6321 ÷ 213
    6321 ÷ 8192     		y = 0.7716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    0.49365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55085458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.706553626474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55085458} λ = 1.55085458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.706553626474))-π/2
    2×atan(0.181490199047421)-π/2
    2×0.179535994153047-π/2
    0.359071988306095-1.57079632675     		φ = -1.21172434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55085458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21172434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.426691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6118 KachelY 6321 1.55085458 -1.21172434 88.857422 -69.426691
    Oben rechts KachelX + 1 6119 KachelY 6321 1.55162157 -1.21172434 88.901367 -69.426691
    Unten links KachelX 6118 KachelY + 1 6322 1.55085458 -1.21199377 88.857422 -69.442128
    Unten rechts KachelX + 1 6119 KachelY + 1 6322 1.55162157 -1.21199377 88.901367 -69.442128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21172434--1.21199377) × R
    0.000269430000000126 × 6371000     		dl = 1716.5385300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21172434--1.21199377) × R
    0.000269430000000126 × 6371000     		dr = 1716.5385300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55085458-1.55162157) × cos(-1.21172434) × R
    0.000766990000000023 × 0.351405557097993 × 6371000     		do = 1717.14089682811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55085458-1.55162157) × cos(-1.21199377) × R
    0.000766990000000023 × 0.35115329769298 × 6371000     		du = 1715.90823293817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21172434)-sin(-1.21199377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351405557097993-0.35115329769298)×R²
    abs(1.55162157-1.55085458)×0.000252259405013056×R²
    0.000766990000000023×0.000252259405013056×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252259405013056×40589641000000     		ar = 2946480.57113983m²