Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61173 / 76341
↖ ↑ ↗
← S 28.432468°
W 11.983337°		 ← 268.53 m → S 28.432468°
W 11.980591°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.434884°
W 11.983337°		 ← 268.52 m →
72 126 m²		 S 28.434884°
W 11.980591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466716766357422 y=0.582439422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466716766357422 × 217)
    floor (0.466716766357422 × 131072)
    floor (61173.5)     		tx = 61173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582439422607422 × 217)
    floor (0.582439422607422 × 131072)
    floor (76341.5)     		ty = 76341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61173 / 76341 ti = "17/61173/76341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61173/76341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61173 ÷ 217
    61173 ÷ 131072     		x = 0.466712951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76341 ÷ 217
    76341 ÷ 131072     		y = 0.582435607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466712951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0665740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20914869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582435607910156 × 2 - 1) × π
    -0.164871215820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.517958200394707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20914869} λ = -0.20914869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517958200394707))-π/2
    2×atan(0.59573567989617)-π/2
    2×0.537278071070551-π/2
    1.0745561421411-1.57079632675     		φ = -0.49624018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20914869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.983337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49624018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.432468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61173 KachelY 76341 -0.20914869 -0.49624018 -11.983337 -28.432468
    Oben rechts KachelX + 1 61174 KachelY 76341 -0.20910076 -0.49624018 -11.980591 -28.432468
    Unten links KachelX 61173 KachelY + 1 76342 -0.20914869 -0.49628234 -11.983337 -28.434884
    Unten rechts KachelX + 1 61174 KachelY + 1 76342 -0.20910076 -0.49628234 -11.980591 -28.434884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49624018--0.49628234) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49624018--0.49628234) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20914869--0.20910076) × cos(-0.49624018) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.879378908517667 × 6371000     		do = 268.528928644148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20914869--0.20910076) × cos(-0.49628234) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.879358834407102 × 6371000     		du = 268.522798772995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49624018)-sin(-0.49628234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879378908517667-0.879358834407102)×R²
    abs(-0.20910076--0.20914869)×2.00741105653712e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.00741105653712e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.00741105653712e-05×40589641000000     		ar = 72126.4121979924m²