Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61171 / 76913
↖ ↑ ↗
← S 29.804901°
W 11.988831°		 ← 265.02 m → S 29.804901°
W 11.986084°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.807284°
W 11.988831°		 ← 265.02 m →
70 223 m²		 S 29.807284°
W 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466701507568359 y=0.586803436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466701507568359 × 217)
    floor (0.466701507568359 × 131072)
    floor (61171.5)     		tx = 61171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586803436279297 × 217)
    floor (0.586803436279297 × 131072)
    floor (76913.5)     		ty = 76913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61171 / 76913 ti = "17/61171/76913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61171/76913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61171 ÷ 217
    61171 ÷ 131072     		x = 0.466697692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76913 ÷ 217
    76913 ÷ 131072     		y = 0.586799621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466697692871094 × 2 - 1) × π
    -0.0666046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20924457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586799621582031 × 2 - 1) × π
    -0.173599243164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.545378106977379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20924457} λ = -0.20924457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545378106977379))-π/2
    2×atan(0.579622582559074)-π/2
    2×0.525301333762674-π/2
    1.05060266752535-1.57079632675     		φ = -0.52019366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20924457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.988831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52019366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.804901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61171 KachelY 76913 -0.20924457 -0.52019366 -11.988831 -29.804901
    Oben rechts KachelX + 1 61172 KachelY 76913 -0.20919663 -0.52019366 -11.986084 -29.804901
    Unten links KachelX 61171 KachelY + 1 76914 -0.20924457 -0.52023525 -11.988831 -29.807284
    Unten rechts KachelX + 1 61172 KachelY + 1 76914 -0.20919663 -0.52023525 -11.986084 -29.807284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52019366--0.52023525) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52019366--0.52023525) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20924457--0.20919663) × cos(-0.52019366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867722937597326 × 6371000     		do = 265.024920330617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20924457--0.20919663) × cos(-0.52023525) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867702264612632 × 6371000     		du = 265.018606268969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52019366)-sin(-0.52023525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867722937597326-0.867702264612632)×R²
    abs(-0.20919663--0.20924457)×2.06729846946585e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06729846946585e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06729846946585e-05×40589641000000     		ar = 70222.7874794032m²