Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61171 / 33715
↖ ↑ ↗
← N 65.454838°
W 11.988831°		 ← 126.88 m → N 65.454838°
W 11.986084°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 65.453698°
W 11.988831°		 ← 126.88 m →
16 094 m²		 N 65.453698°
W 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466701507568359 y=0.257228851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466701507568359 × 217)
    floor (0.466701507568359 × 131072)
    floor (61171.5)     		tx = 61171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257228851318359 × 217)
    floor (0.257228851318359 × 131072)
    floor (33715.5)     		ty = 33715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61171 / 33715 ti = "17/61171/33715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61171/33715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61171 ÷ 217
    61171 ÷ 131072     		x = 0.466697692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33715 ÷ 217
    33715 ÷ 131072     		y = 0.257225036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466697692871094 × 2 - 1) × π
    -0.0666046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20924457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257225036621094 × 2 - 1) × π
    0.485549926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.52540008280981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20924457} λ = -0.20924457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52540008280981))-π/2
    2×atan(4.59698237507012)-π/2
    2×1.3565993834683-π/2
    2.7131987669366-1.57079632675     		φ = 1.14240244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20924457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.988831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14240244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.454838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61171 KachelY 33715 -0.20924457 1.14240244 -11.988831 65.454838
    Oben rechts KachelX + 1 61172 KachelY 33715 -0.20919663 1.14240244 -11.986084 65.454838
    Unten links KachelX 61171 KachelY + 1 33716 -0.20924457 1.14238253 -11.988831 65.453698
    Unten rechts KachelX + 1 61172 KachelY + 1 33716 -0.20919663 1.14238253 -11.986084 65.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14240244-1.14238253) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14240244-1.14238253) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20924457--0.20919663) × cos(1.14240244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415410363483564 × 6371000     		do = 126.877017670627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20924457--0.20919663) × cos(1.14238253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41542847421653 × 6371000     		du = 126.882549154645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14240244)-sin(1.14238253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415410363483564-0.41542847421653)×R²
    abs(-0.20919663--0.20924457)×1.81107329662034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81107329662034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81107329662034e-05×40589641000000     		ar = 16094.2704038088m²