Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6117 / 6390
↖ ↑ ↗
← S 70.466207°
E 88.813477°		 ← 1 633.86 m → S 70.466207°
E 88.857422°		 →
↑
1 633.27 m
↓
↑
1 633.27 m
↓
S 70.480896°
E 88.813477°		 ← 1 632.68 m →
2 667 572 m²		 S 70.480896°
E 88.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74676513671875 y=0.78009033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74676513671875 × 213)
    floor (0.74676513671875 × 8192)
    floor (6117.5)     		tx = 6117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78009033203125 × 213)
    floor (0.78009033203125 × 8192)
    floor (6390.5)     		ty = 6390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6117 / 6390 ti = "13/6117/6390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6117/6390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6117 ÷ 213
    6117 ÷ 8192     		x = 0.7467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6390 ÷ 213
    6390 ÷ 8192     		y = 0.780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7467041015625 × 2 - 1) × π
    0.493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55008759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.56005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75947596365454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55008759} λ = 1.55008759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75947596365454))-π/2
    2×atan(0.172135045211842)-π/2
    2×0.170464497949956-π/2
    0.340928995899911-1.57079632675     		φ = -1.22986733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55008759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.813477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22986733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.466207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6117 KachelY 6390 1.55008759 -1.22986733 88.813477 -70.466207
    Oben rechts KachelX + 1 6118 KachelY 6390 1.55085458 -1.22986733 88.857422 -70.466207
    Unten links KachelX 6117 KachelY + 1 6391 1.55008759 -1.23012369 88.813477 -70.480896
    Unten rechts KachelX + 1 6118 KachelY + 1 6391 1.55085458 -1.23012369 88.857422 -70.480896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22986733--1.23012369) × R
    0.000256360000000067 × 6371000     		dl = 1633.26956000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22986733--1.23012369) × R
    0.000256360000000067 × 6371000     		dr = 1633.26956000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55008759-1.55085458) × cos(-1.22986733) × R
    0.000766990000000023 × 0.334362764171974 × 6371000     		do = 1633.86140355225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55008759-1.55085458) × cos(-1.23012369) × R
    0.000766990000000023 × 0.334121148128101 × 6371000     		du = 1632.68074837511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22986733)-sin(-1.23012369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334362764171974-0.334121148128101)×R²
    abs(1.55085458-1.55008759)×0.000241616043872739×R²
    0.000766990000000023×0.000241616043872739×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241616043872739×40589641000000     		ar = 2667571.94621026m²