Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61169 / 41170
↖ ↑ ↗
← N 55.450826°
W 11.994324°		 ← 173.21 m → N 55.450826°
W 11.991577°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
N 55.449268°
W 11.994324°		 ← 173.22 m →
30 006 m²		 N 55.449268°
W 11.991577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466686248779297 y=0.314105987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466686248779297 × 217)
    floor (0.466686248779297 × 131072)
    floor (61169.5)     		tx = 61169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314105987548828 × 217)
    floor (0.314105987548828 × 131072)
    floor (41170.5)     		ty = 41170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61169 / 41170 ti = "17/61169/41170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61169/41170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61169 ÷ 217
    61169 ÷ 131072     		x = 0.466682434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41170 ÷ 217
    41170 ÷ 131072     		y = 0.314102172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466682434082031 × 2 - 1) × π
    -0.0666351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20934044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314102172851562 × 2 - 1) × π
    0.371795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16803049614229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20934044} λ = -0.20934044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16803049614229))-π/2
    2×atan(3.2156531564638)-π/2
    2×1.26929790850974-π/2
    2.53859581701947-1.57079632675     		φ = 0.96779949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20934044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.994324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96779949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.450826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61169 KachelY 41170 -0.20934044 0.96779949 -11.994324 55.450826
    Oben rechts KachelX + 1 61170 KachelY 41170 -0.20929250 0.96779949 -11.991577 55.450826
    Unten links KachelX 61169 KachelY + 1 41171 -0.20934044 0.96777230 -11.994324 55.449268
    Unten rechts KachelX + 1 61170 KachelY + 1 41171 -0.20929250 0.96777230 -11.991577 55.449268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96779949-0.96777230) × R
    2.71899999999548e-05 × 6371000     		dl = 173.227489999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96779949-0.96777230) × R
    2.71899999999548e-05 × 6371000     		dr = 173.227489999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20934044--0.20929250) × cos(0.96779949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567113330297845 × 6371000     		do = 173.21100857007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20934044--0.20929250) × cos(0.96777230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567135724853554 × 6371000     		du = 173.21784844382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96779949)-sin(0.96777230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567113330297845-0.567135724853554)×R²
    abs(-0.20929250--0.20934044)×2.2394555709071e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2394555709071e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2394555709071e-05×40589641000000     		ar = 30005.5006838608m²