Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61168 / 34096
↖ ↑ ↗
← N 65.016506°
W 11.997070°		 ← 129 m → N 65.016506°
W 11.994324°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 65.015346°
W 11.997070°		 ← 129 m →
16 635 m²		 N 65.015346°
W 11.994324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466678619384766 y=0.260135650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466678619384766 × 217)
    floor (0.466678619384766 × 131072)
    floor (61168.5)     		tx = 61168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260135650634766 × 217)
    floor (0.260135650634766 × 131072)
    floor (34096.5)     		ty = 34096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61168 / 34096 ti = "17/61168/34096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61168/34096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61168 ÷ 217
    61168 ÷ 131072     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34096 ÷ 217
    34096 ÷ 131072     		y = 0.2601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2601318359375 × 2 - 1) × π
    0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50713612405457))-π/2
    2×atan(4.51378534480966)-π/2
    2×1.35277421467008-π/2
    2.70554842934016-1.57079632675     		φ = 1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61168 KachelY 34096 -0.20938838 1.13475210 -11.997070 65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 61169 KachelY 34096 -0.20934044 1.13475210 -11.994324 65.016506
    Unten links KachelX 61168 KachelY + 1 34097 -0.20938838 1.13473186 -11.997070 65.015346
    Unten rechts KachelX + 1 61169 KachelY + 1 34097 -0.20934044 1.13473186 -11.994324 65.015346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13475210-1.13473186) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13475210-1.13473186) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20934044) × cos(1.13475210) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 128.998744911229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20934044) × cos(1.13473186) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422375495483821 × 6371000     		du = 129.004348266077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13475210)-sin(1.13473186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422375495483821)×R²
    abs(-0.20934044--0.20938838)×1.83460465661422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83460465661422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83460465661422e-05×40589641000000     		ar = 16634.6255918005m²