Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61168 / 32273
↖ ↑ ↗
← N 67.049233°
W 11.997070°		 ← 119.10 m → N 67.049233°
W 11.994324°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
N 67.048162°
W 11.997070°		 ← 119.10 m →
14 182 m²		 N 67.048162°
W 11.994324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466678619384766 y=0.246227264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466678619384766 × 217)
    floor (0.466678619384766 × 131072)
    floor (61168.5)     		tx = 61168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246227264404297 × 217)
    floor (0.246227264404297 × 131072)
    floor (32273.5)     		ty = 32273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61168 / 32273 ti = "17/61168/32273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61168/32273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61168 ÷ 217
    61168 ÷ 131072     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32273 ÷ 217
    32273 ÷ 131072     		y = 0.246223449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246223449707031 × 2 - 1) × π
    0.507553100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.59452509206193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59452509206193))-π/2
    2×atan(4.92598912519501)-π/2
    2×1.37051310303152-π/2
    2.74102620606303-1.57079632675     		φ = 1.17022988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17022988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.049233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61168 KachelY 32273 -0.20938838 1.17022988 -11.997070 67.049233
    Oben rechts KachelX + 1 61169 KachelY 32273 -0.20934044 1.17022988 -11.994324 67.049233
    Unten links KachelX 61168 KachelY + 1 32274 -0.20938838 1.17021119 -11.997070 67.048162
    Unten rechts KachelX + 1 61169 KachelY + 1 32274 -0.20934044 1.17021119 -11.994324 67.048162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17022988-1.17021119) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dl = 119.073989999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17022988-1.17021119) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dr = 119.073989999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20934044) × cos(1.17022988) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.38994001185394 × 6371000     		do = 119.097716676158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20934044) × cos(1.17021119) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.38995722229032 × 6371000     		du = 119.102973186425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17022988)-sin(1.17021119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38994001185394-0.38995722229032)×R²
    abs(-0.20934044--0.20938838)×1.72104363796999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72104363796999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72104363796999e-05×40589641000000     		ar = 14181.7532816361m²