Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61162 / 76906
↖ ↑ ↗
← S 29.788217°
W 12.013550°		 ← 265.07 m → S 29.788217°
W 12.010803°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
S 29.790601°
W 12.013550°		 ← 265.06 m →
70 268 m²		 S 29.790601°
W 12.010803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466632843017578 y=0.586750030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466632843017578 × 217)
    floor (0.466632843017578 × 131072)
    floor (61162.5)     		tx = 61162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586750030517578 × 217)
    floor (0.586750030517578 × 131072)
    floor (76906.5)     		ty = 76906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61162 / 76906 ti = "17/61162/76906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61162/76906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61162 ÷ 217
    61162 ÷ 131072     		x = 0.466629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76906 ÷ 217
    76906 ÷ 131072     		y = 0.586746215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466629028320312 × 2 - 1) × π
    -0.066741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20967600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.173492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.545042548680038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20967600} λ = -0.20967600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545042548680038))-π/2
    2×atan(0.579817112362197)-π/2
    2×0.525446931718134-π/2
    1.05089386343627-1.57079632675     		φ = -0.51990246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20967600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51990246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.788217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61162 KachelY 76906 -0.20967600 -0.51990246 -12.013550 -29.788217
    Oben rechts KachelX + 1 61163 KachelY 76906 -0.20962806 -0.51990246 -12.010803 -29.788217
    Unten links KachelX 61162 KachelY + 1 76907 -0.20967600 -0.51994407 -12.013550 -29.790601
    Unten rechts KachelX + 1 61163 KachelY + 1 76907 -0.20962806 -0.51994407 -12.010803 -29.790601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51990246--0.51994407) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51990246--0.51994407) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20967600--0.20962806) × cos(-0.51990246) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86786764123798 × 6371000     		do = 265.069116547144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20967600--0.20962806) × cos(-0.51994407) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867846968826404 × 6371000     		du = 265.062802660541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51990246)-sin(-0.51994407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86786764123798-0.867846968826404)×R²
    abs(-0.20962806--0.20967600)×2.06724115758838e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06724115758838e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06724115758838e-05×40589641000000     		ar = 70268.272873748m²