Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61161 / 32313
↖ ↑ ↗
← N 67.006355°
W 12.016297°		 ← 119.31 m → N 67.006355°
W 12.013550°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
N 67.005282°
W 12.016297°		 ← 119.31 m →
14 237 m²		 N 67.005282°
W 12.013550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466625213623047 y=0.246532440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466625213623047 × 217)
    floor (0.466625213623047 × 131072)
    floor (61161.5)     		tx = 61161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246532440185547 × 217)
    floor (0.246532440185547 × 131072)
    floor (32313.5)     		ty = 32313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61161 / 32313 ti = "17/61161/32313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61161/32313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61161 ÷ 217
    61161 ÷ 131072     		x = 0.466621398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32313 ÷ 217
    32313 ÷ 131072     		y = 0.246528625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466621398925781 × 2 - 1) × π
    -0.0667572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20972394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246528625488281 × 2 - 1) × π
    0.506942749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.59260761607713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20972394} λ = -0.20972394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59260761607713))-π/2
    2×atan(4.91655270928774)-π/2
    2×1.37013892251561-π/2
    2.74027784503123-1.57079632675     		φ = 1.16948152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20972394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.016297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16948152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.006355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61161 KachelY 32313 -0.20972394 1.16948152 -12.016297 67.006355
    Oben rechts KachelX + 1 61162 KachelY 32313 -0.20967600 1.16948152 -12.013550 67.006355
    Unten links KachelX 61161 KachelY + 1 32314 -0.20972394 1.16946279 -12.016297 67.005282
    Unten rechts KachelX + 1 61162 KachelY + 1 32314 -0.20967600 1.16946279 -12.013550 67.005282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16948152-1.16946279) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16948152-1.16946279) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20972394--0.20967600) × cos(1.16948152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390629022616174 × 6371000     		do = 119.308158298013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20972394--0.20967600) × cos(1.16946279) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390646264415218 × 6371000     		du = 119.313424387245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16948152)-sin(1.16946279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390629022616174-0.390646264415218)×R²
    abs(-0.20967600--0.20972394)×1.72417990438878e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72417990438878e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72417990438878e-05×40589641000000     		ar = 14237.2171375707m²